Aufgabenstellungen und Lösungen

Ergebnis:

$6,16,28$

Die meisten Zahlen auf den Dosen sind Vielfache von $3$. Wenn $50$ durch $3$ geteilt wird, beträgt der Rest $2$. Daher muss die Summe der Zahlen auf den ausgewählten Dosen bei Division durch $3$ ebenfalls den Rest $2$ ergeben. Deswegen muss mindestens eine Zahl enthalten sein, die nicht durch $3$ teilbar ist. Die einzigen solchen Zahlen sind $16$ und $28$.

Es ist nicht möglich, nur eine dieser Zahlen zu verwenden: Die beiden Zahlen $16$ und $28$ haben bei Division durch $3$ jeweils den Rest $1$. Das Addieren einer beliebigen Anzahl von Vielfachen von $3$ zu $16$ oder $28$ ändert diesen Rest nicht, so dass die Summe nicht $50$ ergeben kann. Daher müssen sowohl $16$ als auch $28$ verwendet werden. Ihre Summe beträgt $16+28=44$, was bei Division durch $3$ den Rest $2$ ergibt. Um auf $50$ zu kommen, fehlt noch $50-44=6$. Diese Zahl kommt auf einer der Dosen vor und es gibt keine Möglichkeit, $6$ irgendwie als Summe von Zahlen auf den Dosen zu bilden. Daher muss man die Dosen mit den Zahlen $6$, $16$ und $28$ umwerfen.

Ergebnis:

$21$

Es gibt fünf Möglichkeiten, die Augensumme $8$ mit drei Würfeln zu erhalten:

Im Fall $6+1+1$ kann die Augenzahl $6$ auf dem roten, dem blauen oder dem gelben Würfel erscheinen. Daher gibt es in diesem Fall drei Möglichkeiten. Analog dazu ergeben sich auch in den Fällen $4+2+2$ und $3+3+2$ jeweils drei Möglichkeiten. Im Fall $5+2+1$ gibt es $3\cdot 2\cdot 1=6$ Möglichkeiten für die Verteilung der Augenzahlen auf den drei farbigen Würfeln. Dasselbe gilt für den Fall $4+3+1$. Daher gibt es insgesamt $3\cdot 3+2\cdot 6=21$ Möglichkeiten.

Ergebnis:

$12$

Sei $a$ das Alter von Adam und $k_1\ge k_2\ge k_3\ge k_4$ das Alter seiner Kinder. Die Aufgabenstellung impliziert die Gleichungen $a=k_1+k_2+k_3$ und $a+6=(k_2+6)+(k_3+6)+(k_4+6)$. Setzt man die erste Gleichung in die zweite ein, erhält man $k_1+k_2+k_3+6=k_2+k_3+k_4+18$, was zu $k_1=k_4+12$ vereinfacht werden kann. Daher ist das älteste Kind 12 Jahre älter als das jüngste Kind.

Ergebnis:

$36$

Die Stunde muss eine zweistellige Zahl mit verschiedenen Ziffern aus $1,\dots ,5$ sein, die $23$ nicht überschreitet. Die einzigen Möglichkeiten sind $12$, $13$, $14$, $15$, $21$ und $23$. Da damit zwei Ziffern bereits benutzt wurden, verbleiben noch drei mögliche Ziffern für die Minuten. Dabei gibt es $3\cdot 2=6$ Möglichkeiten, zwei verschiedene auszuwählen, und jede dieser Möglichkeiten ergibt auch eine gültige Minutenzahl. Also gibt es in jeder der sechs zulässigen Stunden jeweils sechs gültige Zeiten und damit $6\cdot 6=36$ insgesamt.

Ergebnis:

$67.5^{\circ }$

Sei $X$ der Schnittpunkt der zwei Diagonalen. Statt den Winkel $\mathit{\angle CXE}$ zu berechnen, berechnen wir den gleichgroßen Winkel $\mathit{\angle FXG}$. Da $\mathit{BCFG}$ ein Rechteck ist, gilt $\mathit{\angle GFX}=\mathit{\angle GFC}=90^{\circ }$. Weiters ist das Dreieck $\mathit{EFG}$ gleichschenklig mit dem Winkel $\mathit{\angle GFE}=135^{\circ }$. Daraus ergibt sich $\mathit{\angle XGF}=\mathit{\angle EGF}=22.5^{\circ }$. Im Dreieck $\mathit{FGX}$ beträgt der Winkel $\mathit{\angle FXG}=180^{\circ }-90^{\circ }-22.5^{\circ }=67.5^{\circ }$.

Ergebnis:

$36$

Aus

folgt $a+b+c+d+e=80$. Um $d$ zu maximieren, minimieren wir die anderen Terme unter Berücksichtigung der Ordnungsbedingung: Die kleinstmöglichen Werte sind $a=1$, $b=2$, $c=3$ und $e\ge d+1$. Daher gilt

somit $2d\le 73$ und folglich $d\le 36$, denn $d$ ist eine ganze Zahl. Diese Schranke wird durch $a=1$, $b=2$, $c=3$, $d=36$ und $e=38$ erreicht. Diese Werte erfüllen die Ordnungsbedingung und ihre Summe ergibt $80$. Somit ist der maximal mögliche Wert von $d$ gleich $36$.

Ergebnis:

$567$

Wegen der Teilbarkeit durch $9$ ist die Quersumme eine durch 9 teilbare Zahl kleiner als $9+9+9=27$, also $9$ oder $18$. Da die Zahl ungerade ist, kann $6$ nicht die Einerziffer sein, sondern muss die Zehner- oder die Hunderterziffer sein. Die Hunderterziffer kann aber nicht $6$ sein, da dann die kleinstmögliche Quersumme $6+7+8=21>18$ ist. Somit ist $6$ die Zehnerziffer und daher die Einerziffer mindestens $7$. Deswegen kann die Quersumme nur $18$ sein und die Summe aus Hunderter- und Einerziffer ist dann $12$. Die einzigen aufsteigenden Optionen sind $(3,9)$, $(4,8)$, und $(5,7)$: Die erste scheidet aus, weil das Entfernen der $9$ die durch $9$ teilbare Zahl $36$ ergibt und die zweite ist ausgeschlossen, weil $468$ eine gerade Zahl ist. Damit ist $(5,7)$ die einzig mögliche Wahl. Die Zahl der Sphinx ist also $567$.

Ergebnis:

$28$

Durch die Überlappung entstehen außerhalb des schattierten Sechsecks drei kleinere und drei größere kongruente gleichseitige Dreiecke. Setzt man $\overline{\mathit{AB}}=x$ und $\overline{\mathit{BC}}=y$, so ist die Seitenlänge des größeren Dreiecks $2x+y=17$ und die des kleineren $x+2y=11$. Addition der beiden Gleichungen ergibt $3x+3y=28$, was genau dem Umfang des Sechsecks entspricht.

Alternative Lösung. Diese Lösung liefert einen Beweis ohne Worte, indem sie die Seiten des Sechsecks jeweils einer Seite der beiden gegebenen gleichseitigen Dreiecke zuordnet. Daher ist der Umfang des Sechsecks genau die Summe der Seitenlängen der gegebenen gleichseitigen Dreiecke, nämlich $17+11=28$.

Ergebnis:

$242$

Tina muss genau ein T-Shirt, eine kurze Hose, ein Paar Socken und ein Paar Turnschuhe tragen und kann wahlweise ein Haarband tragen. Alle zulässigen Möglichkeiten, sich dem entsprechend zu kleiden, werden wie folgt gezählt.

1. Fall: Die Socken sind weiß.
Unter den gegebenen Bedingungen dürfen weiße Socken nur getragen werden, wenn das T-Shirt, die kurzen Hosen und die Turnschuhe allesamt weiß sind, wobei das Haarband entweder nicht getragen wird oder ebenfalls weiß ist. Damit ergeben sich $2$ Möglichkeiten.

2. Fall: Die Socken sind nicht weiß.
Da die Socken rot oder orange sein können, ergeben sich $2$ Wahlmöglichkeiten für die Socken. In diesem Fall gibt es keine weiteren Einschränkungen. Damit gibt es $5$ Möglichkeiten für das T-Shirt, $3$ für die kurzen Hosen, $2$ für die Turnschuhe und $4$ für das Haarband, nämlich keines, ein weißes, ein schwarzes oder ein graues zu tragen. Daher kann sich Tina in diesem Fall auf

Arten kleiden.

Addiert man beide Fälle, ergibt sich eine Gesamtzahl von $240+2=242$ Möglichkeiten.

Ergebnis:

$1239$

Sei $\mathit{ABCD}$ die gesuchte Zahl, wobei $A$, $B$, $C$ und $D$ ihre Ziffern sind. Laut Angaben gilt $B=2A$ und $D=3C$. Also ergibt sich

was sich zu $A^2+2C^2=19$ vereinfacht. Da die rechte Seite ungerade ist, muss $A$ ungerade sein. Weiters ist $A$ eine Ziffer und $A^2\le 19$. Also kann $A$ nur $1$ oder $3$ sein. Der Wert $A=3$ führt zu $2C^2=10$, also $C^2=5$, aber diese Bedingung kann durch keine Ziffer $C$ erfüllt werden. Also muss $A=1$ sein, woraus $2C^2=18$ und $C=3$ folgt. Deswegen ist $B=2$ und $D=9$, und die gesuchte Zahl ist $1239$.

Ergebnis:

$16$

Die Summe $\pm 1\pm 2\pm 3\pm 4\pm 5$ kann niemals $0$ sein. Das gilt, weil $1+2+3+4+5=15$ ungerade ist und jede Änderung des Vor-/Rechenzeichens die Summe um eine gerade Zahl ändert, sodass das Ergebnis immer ungerade ist. Wenn man nun beliebige Zeichen wählt und jedes Pluszeichen in ein Minuszeichen und jedes Minuszeichen in ein Pluszeichen umwandelt, ändert sich das Ergebnis von positiv zu negativ oder umgekehrt. Dadurch entsteht eine perfekte Paarung zwischen positiven und negativen Ergebnissen. Für jedes der fünf Kästchen können unabhängig voneinander entweder ein Plus- oder ein Minuszeichen gewählt werden, sodass es für jede Position $2$ Möglichkeiten gibt und somit insgesamt $2^5=32$ verschiedene Möglichkeiten, Plus- und Minuszeichen einzutragen. Da keine davon Null ergibt, muss genau die Hälfte positiv sein, sodass Sandi auf $16$ Arten ein positives Ergebnis erzielen kann.

Ergebnis:

$619$

Da die erste Ziffer aller drei Zahlen gleich ist, muss $A$ die Bedingungen $3A\le 20$ und $3A\ge 18$ erfüllen, da bei der Addition von drei Zahlen kein Übertrag von mehr als $2$ möglich ist. Daher ist $A=6$. Daraus folgt, dass die Summe der Ziffern $B$ und $C$ in der Einerstelle $10$ ergibt. Somit entsteht ein Übertrag von $1$ von der Einerstelle in die Zehnerstelle. Daher muss $C=9$ gelten und daraus folgt $B=1$. Somit ist $\mathit{ABC}=619$.

Ergebnis:

${\displaystyle \frac{53}{3}}=17{\displaystyle \frac{2}{3}}$

Da das Quadrat den Flächeninhalt $4$ hat, hat jedes Rechteck den Flächeninhalt $1$. Daraus ergibt sich unmittelbar, dass die Breite des rechten Rechtecks $\frac{1}{2}$ ist, sodass die Breite des unteren linken Rechtecks $2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$ ist und seine Höhe somit $1:\frac{3}{2}=\frac{2}{3}$ beträgt. Folglich beträgt die gemeinsame Höhe der beiden verbleibenden Rechtecke $2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$. Um die Summe der vier Umfänge zu ermitteln, nimmt man den Umfang des äußeren Quadrats, welcher $4\cdot 2=8$ ist, und addiert die doppelte Gesamtlänge der inneren Strecken, da jede in zwei Rechtecken gezählt wird. Die Längen der inneren Strecken sind $2$, $\frac{3}{2}$ und $\frac{4}{3}$, sodass ihre doppelte Summe $2\cdot \left(2+\frac{3}{2}+\frac{4}{3}\right)=\frac{29}{3}$ beträgt. Daher ist die gesuchte Summe der Umfänge $8+\frac{29}{3}=\frac{53}{3}$.

Ergebnis:

$12158$

Die Ziffernsumme nach einmaligem Schreiben von $2026$ beträgt $10$. Nach dem ersten Block werden bei jedem geraden Block die Ziffern $202$ angehängt, wodurch sich die Ziffernsumme um $4$ erhöht, und bei jedem ungeraden Block $026$ hinzugefügt, wodurch sich die Summe um $8$ erhöht.

Auf diese Weise erhöht sich die Summe jedes Mal um 12, wenn nach dem ersten Block zwei Blöcke hinzugefügt werden, was wegen $1+2\cdot 1012=2025$ genau 1012 Mal geschieht. Am Ende bleibt der 2026. Block übrig, der eine gerade Nummer trägt und somit die Summe um $4$ erhöht. Insgesamt ergibt sich $10+1012\cdot 12+4=12158$.

Ergebnis:

$14\text{Uhr bzw. }2\text{Uhr nachmittags}$

Da ein Tag $24$ Stunden hat, wiederholt sich die gleiche Tageszeit alle $24$ Stunden. Also genügt es, den Rest der Division von $N=260320261998$ durch $24$ zu bestimmen. Dies könnte durch eine schriftliche Division erfolgen. Einfacher ist es jedoch, die Reste der Division durch $3$ und $8$ getrennt zu berechnen und die Ergebnisse zu kombinieren, was möglich ist, da $3$ und $8$ teilerfremd sind.

Da die Quersumme von $N$ den Wert $48=3\cdot 16$ ergibt, ist $N$ durch $3$ teilbar. Der Rest einer Zahl beim Teilen durch $8$ wird durch die letzten drei Ziffern bestimmt. Weil $998$ den Rest $6$ beim Teilen durch $8$ lässt, hat auch $N$ Rest $6$ beim Teilen durch $8$. Daher muss der Rest von $N$ bei der Division durch $24$ eine Zahl kleiner als $24$ sein, die durch $3$ teilbar ist und bei Division durch $8$ den Rest $6$ lässt. Die einzige Möglichkeit hierfür ist $6$.

Daher rückt die Uhr nach $N$ Stunden um denselben Betrag vor wie nach $6$ Stunden. Deswegen wird es 14:00 Uhr (oder $2$ Uhr nachmittags) sein.

Ergebnis:

$16$

In der Ausgangskonfiguration ist Beere $F$ die einzige Beere, die gegessen werden kann, wobei die Beeren $A,B,C,D$ und $E$ übrig bleiben. Nun können wir entweder Beere $D$ oder $E$ essen. Die Situation ist offensichtlich symmetrisch, also beginnen wir mit $E$ und lassen die Beeren $A,B,C$ und $D$ übrig. Dann können wir die Beeren $C$ oder $D$ essen:

• Wenn wir $C$ wählen, müssen wir $D$ essen, gefolgt von entweder $A$ oder $B$. Das ergibt $2$ Möglichkeiten.
• Wenn wir $D$ wählen, können wir als nächstes $A,B$ oder $C$ essen, gefolgt von den beiden übrigen in beliebiger Reihenfolge. Das ergibt hier $3\cdot 2$ Möglichkeiten.

Wir beginnen also immer mit $F$, wählen dann zwischen $D$ oder $E$ und haben dann $2+6=8$ verschiedene Möglichkeiten. Das ergibt insgesamt $1\cdot 2\cdot 8=16$ mögliche Arten, die Beeren zu essen.

Ergebnis:

$12$

Die Zahl $x$ muss die Form $2^a\cdot 3^b\cdot 5^c\cdot 7^d$ haben, denn es dürfen keine anderen Primzahlen vorkommen, da diese sonst in den Faktorisierungen der gegebenen Werte für die kleinsten gemeinsamen Vielfachen auftauchen müssten. Die erste Bedingung entspricht $a=6$, $b\le 3$, $c\le 4$ und $d\le 2$, während die zweite Bedingung zu $a\le 8$, $b\le 4$, $c\le 3$ und $d=2$ führt. Insgesamt gilt daher $a=6$, $b\le 3$, $c\le 3$ und $d=2$. Das bedeutet, dass in der Primfaktorzerlegung von $\mathrm{ggT}(x,2^2\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7^3)$ der Exponent von $2$ gleich $2$ ist, der Exponent von $3$ eine ganze Zahl aus der Menge $\{0,1,2,3\}$ ist, der Exponent von $5$ eine ganze Zahl aus der Menge $\{0,1,2\}$ ist und der Exponent von $7$ gleich $2$ ist. Daraus folgt, dass $\mathrm{ggT}(x,2^2\cdot 3^4\cdot 5^2\cdot 7^3)$ genau $4\cdot 3=12$ verschiedene Werte annehmen kann.

Ergebnis:

$71^{\circ }$

Durch Berechnung der Komplementärwinkel an den beiden rechten Eckpunkten können wir schlussfolgern, dass der gegebene innere Punkt auf der gemeinsamen Mittelsenkrechten der beiden vertikalen Seiten des Rechtecks liegt. Daher ist die gesamte Konfiguration symmetrisch bezüglich dieser Mittelsenkrechten. Die Größe des gesuchten Winkels beträgt folglich $90^{\circ }-19^{\circ }=71^{\circ }$.

Ergebnis:

$1078$

Sei $g$ die Anzahl der günstigen Perlen und $p$ ihr ganzzahliger Preis in Gulden. Dann gilt $g\cdot p=459$. Da es insgesamt $100$ Perlen gibt, von denen mehr günstig als teuer sind, gilt $50<g<100$. Da der Preis eine ganze Zahl ist, muss $g$ ein Teiler von $459=3^3\cdot 17$ sein, der strikt zwischen $50$ und $100$ liegt. Der einzige solche Teiler ist $g=51$. Somit ist $p=459:51=9$ und jede teure Perle kostet $p+13=22$ Gulden. Da die Anzahl der teuren Perlen $100-51=49$ ist, hat Alina $49\cdot 22=1078$ Gulden für die teuren Perlen bezahlt.

Ergebnis:

$1$

Da die zehn verschiedenen Buchstaben $M$, $A$, $T$, $H$, $N$, $B$, $O$, $J$, $G$, $E$ vorkommen, werden die Ziffern $0$ bis $9$ jeweils genau einmal verwendet, was bedeutet, dass ein Buchstabe gleich $0$ ist. Daraus folgt, dass beide Seiten der Gleichung notwendigerweise gleich $0$ sind. Insbesondere erscheint $0$ auf beiden Seiten, darf aber gleichzeitig nicht im Nenner des Bruchs vorkommen. Der einzige solche Buchstabe ist $M$, weshalb $M=0$ sein muss. Somit gilt $M\cdot A\cdot N\cdot G\cdot O=0$, unabhängig von den Werten der übrigen Buchstaben, sodass das Produkt genau einen Wert annehmen kann.

Ergebnis:

$24$

Sei $S$ die Position des Schiffes, $A$ und $B$ die beiden äußeren Leuchttürme und $M$ der Leuchtturm in der Mitte. Wegen $\overline{\mathit{MS}}=\overline{\mathit{MA}}=\overline{\mathit{MB}}=13$ liegen die Punkte $A$, $B$ und $S$ auf einem Kreis mit $M$ als Mittelpunkt und $\mathit{AB}$ als Durchmesser. Nach dem Satz des Thales ist das Dreieck $\mathit{ABS}$ rechtwinklig mit dem rechten Winkel im Eckpunkt $S$. Mit $\overline{\mathit{AB}}=\overline{\mathit{MA}}+\overline{\mathit{MB}}=26$ und $\overline{\mathit{AS}}=10$ liefert der Satz des Pythagoras

Somit beträgt der Abstand vom Schiff zum anderen äußeren Leuchtturm $24\mathrm{km}$.

Ergebnis:

$81$

Unter den gegebenen Bedingungen wird die Farbgebung der Pyramide vollständig durch die Farbgebung der unteren Reihe bestimmt, da jede Farbgebung der unteren Reihe eindeutig zu einer Farbgebung der gesamten Pyramide ergänzt werden kann. Da für jeden Baustein drei Farben ausgewählt werden können, gibt es insgesamt $3^4=81$ mögliche Farbgebungen.

Ergebnis:

$93$

Sei $n$ eine positive ganze Zahl, für die eine solche Anordnung existiert. Dann muss die Zahl $1$ mit $n+1$ gepaart werden – in dem Sinne, dass sie an zwei gegenüberliegenden Positionen platziert sind. Als nächstes muss $2$ mit $n+2$ gepaart sein, und wenn wir so fortfahren, sehen wir, dass $k$ mit $n+k$ für alle $k=1,2,\dots ,n$ gepaart sein muss. Insbesondere wird $n$ mit $2n$ gepaart.

Somit wird jede Zahl aus dem Block $\{1,2,\dots ,2n\}$ mit einer anderen Zahl aus demselben Block gepaart, und dieser Block kann von den übrigen Zahlen $\{2n+1,\dots ,100\}$ getrennt werden. Wenn $2n=100$ ist, ist der Prozess beendet. Andernfalls wiederholen wir die gleiche Argumentation beginnend mit $2n+1$, das mit $3n+1$ gepaart sein muss, und fahren analog fort.

Damit teilt sich die Menge $\{1,2,\dots ,100\}$ in disjunkte Blöcke der Länge $2n$. Dies ist genau dann möglich, wenn $100$ durch $2n$ teilbar ist, das heißt, genau dann, wenn $n$ ein positiver Teiler von $50$ ist.

Es ist leicht zu sehen, dass diese Konstruktion für jeden solchen Teiler eine gültige Paarung ergibt, nämlich durch Zusammenfügen von $\frac{100}{2n}$ Blöcken wie oben. Daher ist die Antwort die Summe aller positiven Teiler von $50$, also

Ergebnis:

${\displaystyle \frac{6}{5}}=1.2$

Das graue Dreieck ist ähnlich zum großen rechtwinkligen Dreieck, da beides rechtwinklige Dreiecke sind und sie zusätzlich noch den oberen Winkel in der Abbildung gemeinsam haben. Dabei ist die Länge der kürzesten Seite des grauen Dreiecks gleich $13-12=1$.

Also ist der Ähnlichkeitsfaktor zwischen den beiden rechtwinkligen Dreiecken $1:5$, weshalb die zweite Kathete im grauen Dreieck die Länge $\frac{12}{5}$ hat. Der gesuchte Flächeninhalt ergibt sich nun zu

Ergebnis:

$7,14$

Seien $a_1,a_2,\dots ,a_7$ die von den Zwergen ausgewählten Zahlen. Zunächst kann man zeigen, dass entweder der sechste oder der siebte Zwerg gelogen haben muss.

Angenommen, der siebte Zwerg hat die Wahrheit gesagt. Dann ist seine Zahl $a_7=a_1+\cdots +a_6$ und für die Gesamtsumme gilt $a_1+\cdots +a_7=2a_7=46$, woraus $a_7=\frac{46}{2}=23$ folgt. Wenn der sechste Zwerg auch die Wahrheit gesagt hätte, dann wäre $a_6=a_1+\cdots +a_5$ und somit $a_7=a_1+\cdots +a_6=2a_6$, was auf $a_6=\frac{23}{2}$ führt. Dies widerspricht der Tatsache, dass $a_6$ eine positive ganze Zahl sein muss. Also muss in diesem Fall der sechste Zwerg gelogen haben.

Daher kann man sicher sein, dass in jedem Fall die ersten fünf Zwerge die Wahrheit gesagt haben und es folgt

und somit $a_1+\cdots +a_5=16a_1$. Außerdem ist mindestens einer der Werte $a_6$ oder $a_7$, nämlich derjenige, der zum wahrheitsgetreu antwortenden Zwerg gehört, größer oder gleich $a_1+\cdots +a_5=16a_1$, so dass

gelten muss. Weil die Gesamtsumme $46$ ist, ergibt sich $32a_1\le 46$ und somit $a_1=1$, da ja $a_1$ eine positive ganze Zahl sein muss. Folglich ist $a_2=1$, $a_3=2$, $a_4=4$ und $a_5=8$, woraus man $a_1+\cdots +a_5=16$ erhält.

Jetzt betrachtet man die letzten beiden Zwerge. Wenn der sechste Zwerg die Wahrheit gesagt hat, dann ist $a_6=16$, so dass wegen der Gesamtsumme $46$ die Zahl $a_7=46-(16+16)=14$ sein muss. Wenn dagegen der sechste Zwerg gelogen hat, dann hat der siebte Zwerg die Wahrheit gesagt und es gilt $a_7=a_1+\cdots +a_6=16+a_6$. Aus der vorherigen Berechnung hat man dann in diesem Fall $a_7=23$, was zu $a_6=7$ führt.

Beide Fälle erfüllen die Bedingung, dass genau ein Zwerg gelogen hat, so dass der lügende Zwerg entweder die Zahl $7$ oder die Zahl $14$ ausgewählt haben könnte.

Ergebnis:

$1708$

Die Nummern zweier ausgewählten Kanäle unterscheiden sich genau dann um eine ungerade Zahl, wenn sie unterschiedliche Parität haben. Anstatt direkt alle Kanalauswahlen zu zählen, die die Aufgabenstellung erfüllen, betrachtet man hier besser das Komplement: Man subtrahiert von allen insgesamt möglichen Auswahlen an Kanälen diejenigen Auswahlen, die keine ungeraden Differenzen in den Kanalnummern aufweisen.

Eine Menge von sechs Kanälen hat genau dann keine ungeraden Differenzen, wenn jedes Paar eine gerade Differenz aufweist, was nur dann der Fall ist, wenn alle sechs Kanäle die gleiche Parität haben. In der Menge $\{1,2,\dots ,13\}$ gibt es sieben ungerade Zahlen und sechs gerade. Deshalb ist die Anzahl an Auswahlen mit nur ungeraden oder nur geraden Kanälen $\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{7}{6}\right)+\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{6}{6}\right)=8$.

Da es insgesamt $\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{13}{6}\right)=1716$ Auswahlen für sechs Kanäle gibt, ist die Anzahl der Auswahlen mit mindestens einer ungeraden Differenz $1716-8=1708$.

Ergebnis:

$36$

Da $N$ sieben verschiedene Ziffern ungleich Null hat, ist mindestens eine davon gerade, sodass $N$ gerade ist. Wäre $5$ eine Ziffer, würde die Teilbarkeit durch $5$ nun dazu führen, dass $N$ auf $0$ endet. Das wäre ein Widerspruch dazu, dass alle Ziffern ungleich Null sind. Daher wird $5$ ausgeschlossen. Folglich besteht $N$ aus sieben Ziffern der Menge $\{1,2,3,4,6,7,8,9\}$ und daher wird genau eine Ziffer aus dieser Menge weggelassen. Die Ziffer $9$ kann nicht weggelassen werden, denn ansonsten würde $N$ aus den Ziffern der Menge $\{1,2,3,4,6,7,8\}$ mit der Ziffernsumme $31$ bestehen, die nicht durch $3$ teilbar wäre, obwohl die Zahl $N$ die Ziffer $3$ enthält. Daher muss die $9$ unter den Ziffern von $N$ vorkommen, sodass die Zahl $N$ durch $9$ teilbar ist und damit auch ihre Ziffernsumme. Da $1+2+3+4+6+7+8+9=40$ ist, muss die Ziffer $4$ weggelassen werden, um die Ziffernsumme $36$ zu erhalten, das einzig mögliche Vielfache von $9$. Ein Beispiel für eine solche Zahl ist $N=9867312$.

Ergebnis:

${\displaystyle \frac{8}{9}}$

Ein regelmäßiges Oktaeder mit der Kantenlänge $a$ hat das Volumen $k{a}^3$ für eine bestimmte Konstante $k$. Tatsächlich lässt sich leicht zeigen, dass $k=\frac{1}{3}\sqrt{2}$ ist, aber dies ist für die Lösung nicht erforderlich. Um das abgestumpfte Oktaeder zu erhalten, wird von jedem der sechs Eckpunkte des Oktaeders ein halbes Oktaeder, also eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche, mit der Kantenlänge $\frac{a}{3}$ entfernt. Das entfernte Volumen entspricht dem Volumen von drei Oktaedern mit der Kantenlänge $\frac{a}{3}$. Das entfernte Gesamtvolumen beträgt daher $3\cdot k{\left(\frac{a}{3}\right)}^3=\frac{1}{9}k{a}^3$. Das Volumen des abgestumpften Oktaeders als Bruchteil des Volumens des ursprünglichen Oktaeders beträgt also

Ergebnis:

$\pm 1$, $\pm 2$

Setzt man $a=2^x+2^{-x}$, so ist $4^x+4^{-x}=a^2-2$. Durch Einsetzen in die gegebene Gleichung erhält man

was sich zu

vereinfachen lässt. Das Lösen dieser quadratischen Gleichung führt auf

und damit zu den Ergebnissen

Im ersten Fall ergibt sich

was zu $2^x=4$ oder $2^x=\frac{1}{4}$ und somit zu den Lösungen $x_1=2$ und $x_2=-2$ führt. Im zweiten Fall erhält man

was zu $2^x=2$ oder $2^x=\frac{1}{2}$ und somit zu den Lösungen $x_3=1$ und $x_4=-1$ führt. Also sind alle Lösungen der ursprünglichen Gleichung $\pm 1$ und $\pm 2$.

Ergebnis:

$28$

Färbt man die acht Eckstädte wie ein 3D-Schachbrett in zwei Farben, so führt jede Bahnstrecke immer von einer Stadt der einen Farbe zu einer Stadt der anderen Farbe, egal ob es sich um eine Strecke längs einer Kante oder durch einen Tunnel handelt. Da der Besucher in einer Stadt der einen Farbe startet und in genau fünf Abschnitten in einer benachbarten Stadt der anderen Farbe endet, muss die Route zwischen den Farben wechseln und daher genau zwei Zwischenstädte jeder Farbe besuchen, wobei alle besuchten Städte unterschiedlich sein müssen. Darüber hinaus ist in der vorliegenden Konfiguration mit Tunneln jedes Paar von Städten unterschiedlicher Farben direkt durch eine Bahnstrecke verbunden.

Zuerst werden alle Routen der Länge $5$ gezählt, ohne die Tunnelbedingung zu berücksichtigen. Jede Route hat die Form

wobei $b_1$, $b_2$ unterschiedliche Städte der Farbe von $B$ sowie $a_2$, $a_3$ unterschiedliche Städte der Farbe von $A$ sind. Es gibt $3\cdot 2$ Möglichkeiten, das geordnete Paar $(b_1,b_2)$ aus den drei Städten der Farbe von $B$ außer $B$ auszuwählen, und es gibt $3\cdot 2$ Möglichkeiten, das geordnete Paar $(a_2,a_3)$ aus den drei Städten der Farbe von $A$ außer $A$ auszuwählen. Somit gibt es insgesamt $(3\cdot 2)\cdot (3\cdot 2)=36$ Routen der Länge $5$.

Nun müssen diejenigen Routen abgezogen werden, die überhaupt keinen Tunnel verwenden, d.h. Routen, die nur Kantenstrecken benutzen. Da der erste Streckenabschnitt nicht direkt zu $B$ führen kann, sind nur zwei erste Streckenabschnitte möglich. Von jedem dieser beiden ersten Streckenabschnitte gibt es genau $4$ Möglichkeiten, eine Route der Länge $5$ zu $B$ nur mit Kanten zu vervollständigen, was $2\cdot 4=8$ Routen nur mit Kanten ergibt.

Daher beträgt die Anzahl der Routen der Länge $5$, die mindestens einen Tunnel nutzen, $36-8=28$.

Ergebnis:

$63$

Bezeichnen wir die einzelnen Stimmenzahlen mit $a$, $b$, $c$ und $d$. Dies sind nicht-negative ganze Zahlen, die folgende Bedingungen erfüllen:

Wenn wir $c$ zu beiden Seiten der dritten Gleichung addieren, erhalten wir

Daher ist $c=790$, woraus sich weiter

ergibt. Nach dem Einsetzen von $b=6a$ erhalten wir

Da $d<800$ und gleichzeitig $d>c=790$ ist, folgt $791\le d\le 799$. Daher gilt

Die einzige Zahl, die im gegebenen Intervall durch $7$ teilbar ist, ist $441=7\cdot 63$. Daher lautet die Antwort $a=63$. Man kann dann noch $b=378$ und $d=795$ berechnen und sieht, dass alle Bedingungen der Aufgabenstellung tatsächlich erfüllt sind.

Ergebnis:

${\displaystyle \frac{12}{7}}$

Seien $a$ und $b$ die Seitenlängen der Quadrate $\mathit{EFGH}$ und $\mathit{KGIJ}$. Aus der Aufgabenstellung kann man die Gleichungen $7=\overline{\mathit{AD}}=\overline{\mathit{JK}}+\overline{\mathit{HE}}=a+b$ und $1=\overline{\mathit{HK}}=\overline{\mathit{HG}}-\overline{\mathit{KG}}=a-b$ herleiten. Die Lösungen dieses linearen Gleichungssystems sind $a=4$ und $b=3$.

Die Gerade durch die Mittelpunkte aller drei Quadrate teilt den Flächeninhalt jedes dieser Quadrate in zwei gleich große Hälften. Also kann man den Flächeninhalt des Rechtecks $\mathit{FBCI}$ durch

berechnen. Die Fläche des Rechtecks $\mathit{FBCI}$ kann aber auch durch $\overline{\mathit{FB}}\cdot (a+b)$ bestimmt werden. Aus diesen beiden Gleichungen ergibt sich $\overline{\mathit{FB}}={\displaystyle \frac{\mathit{ab}}{a+b}}={\displaystyle \frac{12}{7}}$.

Ergebnis:

$10010$

Sei $S$ die Summe der ursprünglichen $n$ Zahlen. Dann gilt

Diese Gleichungen können vereinfacht werden zu

Wenn man die zweite Gleichung von der ersten subtrahiert, erhält man

Wegen $n\ne 0$ folgt somit $n=5$. Also ist $S=2032n-6n^2=10010$.

Ergebnis:

$80$

Nach $n$ Sprüngen hat der Floh einen Zentriwinkel von

Grad zurückgelegt. Gesucht ist das kleinste $n$, sodass diese Zahl ein Vielfaches von $360$ ist. Das bedeutet, dass $n(n+1)$ ein Vielfaches von $720=16\cdot 9\cdot 5$ sein muss. Da zwei aufeinanderfolgende Zahlen teilerfremd sind, muss jeder der drei Faktoren entweder $n$ oder $n+1$ teilen. Indem man die Vielfachen des größten Faktors $16$ betrachtet, bekommt man für $n$ folgende Kandidaten in aufsteigender Reihenfolge: $15$, $16$, $31$, $32$, $47$, $48$, $63$, $64$, $79$ und schließlich $80$, das selbst durch $5$ teilbar und dessen Nachfolger $n+1=81$ durch $9$ teilbar ist. Folglich ist $80$ die gesuchte Anzahl von Sprüngen ist.

Ergebnis:

$768$

Da vier Lehrlinge ausgewählt werden und jede Gilde mindestens einen Lehrling stellen muss, muss die Verteilung der Lehrlinge unter den Gilden in einer beliebigen Reihenfolge $(2,1,1)$ lauten. Ebenso werden vier Meister ausgewählt und jede Gilde muss mindestens einen Meister stellen, sodass die Verteilung der Meister ebenfalls $(2,1,1)$ lauten muss.

Es gibt zwei Fälle, je nachdem, ob die Gilde, die zwei Meister stellt, auch zwei Lehrlinge stellt oder nicht.

Im ersten Fall stellt eine einzige Gilde $X$ sowohl zwei Lehrlinge als auch zwei Meister. Es gibt $3$ Auswahlmöglichkeiten für $X$. Aus den verbleibenden zwei Gilden können die Lehrlinge auf $2\cdot 2=4$ Arten ausgewählt werden, und ebenso können die Meister auf $2\cdot 2=4$ Arten ausgewählt werden.

Für jede solche Auswahl müssen die beiden Lehrlinge aus $X$ mit den beiden Meistern aus den beiden anderen Gilden gepaart werden, was auf $2$ Arten geschehen kann. Sobald dies festgelegt ist, müssen die beiden verbleibenden Lehrlinge mit den beiden Meistern aus $X$ gepaart werden, was wiederum auf $2$ Arten geschehen kann. Daher gibt es in diesem Fall $2\cdot 2=4$ gültige Möglichkeiten, Meister mit Lehrlingen zu paaren. Daher trägt dieser Fall $3\cdot 4\cdot 4\cdot 4=192$ Paarungen bei.

Im zweiten Fall stellt eine Gilde $X$ zwei Lehrlinge zur Verfügung, während eine andere Gilde $Y$ zwei Meister zur Verfügung stellt. Es gibt $3$ Auswahlmöglichkeiten für $X$ und, sobald diese festgelegt ist, $2$ Auswahlmöglichkeiten für $Y$. Die verbleibenden Lehrlinge können aus den beiden anderen Gilden auf $2\cdot 2=4$ Arten ausgewählt werden, und die verbleibenden Meister können auf die gleiche Anzahl von Arten ausgewählt werden. Für jede solche Auswahl gibt es $3\cdot 2=6$ zulässige Möglichkeiten, die Meister-Lehrling-Paare zu bilden: Die beiden Lehrlinge aus $X$ können zwei beliebigen der drei verfügbaren Meister zugewiesen werden, und sobald diese Auswahl getroffen ist, müssen die verbleibenden Lehrlinge und Meister auf eindeutige Weise gepaart werden. Folglich trägt dieser Fall $3\cdot 2\cdot 4\cdot 4\cdot 6=576$ Paarungen bei.

Addiert man beide Fälle, so ergeben sich $192+576=768$ Möglichkeiten, die Kampfpaare gemäß den gegebenen Bedingungen zu bilden.

Ergebnis:

$3\sqrt[3]{2}$

Multipliziert man die beiden gegebenen Terme, so erhält man

Nach Einsetzen der entsprechenden Werte ergibt sich

Um den gesuchten Term zu erzeugen, kann man analog vorgehen:

Mit den nun bekannten Werten folgt

Ergebnis:

$38^{\circ }$

Die Winkel $\mathit{\angle ADB}$ und $\mathit{\angle ACB}$ sind gleich groß, da sie beide Peripheriewinkel über der Sehne $\mathit{AB}$ sind. Also ist

Daher ist $\mathit{CX}$ die Winkelhalbierende des Winkels $\mathit{\angle ACB}$, woraus zusammen mit der gegebenen Eigenschaft von $\mathit{AX}$ folgt, dass $X$ der gemeinsame Schnittpunkt aller drei Winkelhalbierenden des Dreiecks $\mathit{ABC}$ ist. Der Punkt $X$ ist also der Inkreismittelpunkt des Dreiecks $\mathit{ABC}$.

Nun kann man den gesuchten Winkel über die Winkelsumme im Dreieck $\mathit{ABC}$ berechnen und erhält

Dabei wurde $\mathit{\angle BAC}=\mathit{\angle BDC}$ benutzt, was aus der Tatsache folgt, dass beide Winkel Peripheriewinkel über der Sehne $\mathit{BC}$ sind.

Ergebnis:

$29$

Seien $n_1$ die Anzahl der Neuronen und $g_1$ die Anzahl der Gliazellen in einer der Gehirnhälften und $n_2$ und $g_2$ die entsprechenden Anzahlen in der anderen. Aus der Aufgabenstellung hat man $n_1{n}_2=168$, $g_1{g}_2=48$ und $n_1{g}_2+n_2{g}_1=191$ gegeben. Daher gilt

Da es in jeder Gehirnhälfte mindestens eine Zelle jedes Typs geben muss, kann ohne Einschränkung der Allgemeinheit festgelegt werden, dass $n_1+g_1=11$ ist. Ebenso gilt

Zusammen mit der Tatsache, dass $n_1$ ein Teiler von $168$ und $g_1$ ein Teiler von $48$ sein muss, folgt $n_1=8$ und $g_1=3$. Hieraus ergibt sich $n_2=168:8=21$ und die Gesamtzahl der Neuronen beträgt $n_1+n_2=29$.

Alternative Lösung. Die Notation wird aus der vorherigen Lösung verwendet. Da die Zahl $n_1{g}_2+n_2{g}_1=191$ ungerade ist, muss einer der beiden Summanden ungerade sein. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei dies $n_2{g}_1$. Dies bedeutet, dass sowohl $n_2$ als auch $g_1$ ungerade sind. Da andererseits $n_1{n}_2=168=2^3\cdot 21$ und $g_1{g}_2=48=2^4\cdot 3$ ist, muss $n_1$ durch $2^3$ und $g_2$ durch $2^4$ teilbar sein. Daher ist $n_1{g}_2$ ein Vielfaches von $2^3\cdot 2^4=2^7=128$, und da es kleiner als $191$ ist, muss es gleich $128$ sein, woraus $n_1=2^3=8$ und $g_2=2^4$ folgt. Weiter ergibt sich $n_2=168:8=21$, was schließlich zum Ergebnis $n_1+n_2=29$ führt.

Ergebnis:

$75$

Da Agnes nur fünf Triminos zur Verfügung hat, kann sich der Pfad niemals nach links oder unten bewegen: Jede solche Rückwärtsbewegung würde Gitterstrecke „verschwenden“, was mit nur fünf Steinen nicht wieder aufgeholt werden kann. Somit schreitet der Endpunkt des wachsenden Pfades stets nach oben und/oder rechts voran. Wir zählen die Pfade, indem wir eine $7\times 9$-Tabelle ausfüllen: In jedes Gitterquadrat schreiben wir die Anzahl der Trimino-Pfade, deren aktueller Endpunkt, das ist das freie Endquadrat des letzten Triminos, in diesem Quadrat liegt.

Nach dem Platzieren des ersten Triminos vom linken unteren Eck aus muss der Endpunkt genau zwei Felder entfernt liegen: entweder zwei nach rechts, falls das erste Trimino horizontal gelegt ist, oder zwei nach oben, falls es vertikal platziert ist. Daher tragen wir eine $1$ in die Felder $(0,2)$ und $(2,0)$ ein, wobei die Koordinaten von der linken unteren Ecke gezählt werden.

Nun füllen wir den Rest der Tabelle von links unten nach rechts oben. Um den Wert im Feld $(x,y)$ zu bestimmen, betrachten wir die Möglichkeiten, wie ein Trimino dort enden kann. Ein in $(x,y)$ endendes Trimino kann vertikal oder horizontal liegen, und in beiden Fällen muss es am Endquadrat an das vorherige Trimino anschließen. Daraus ergeben sich vier mögliche vorherige Endpunkte, nämlich $(x,y-3)$ und $(x-1,y-2)$ im vertikalen Fall sowie $(x-3,y)$ und $(x-2,y-1)$ im horizontalen Fall. Jeder dieser Fälle entspricht einer gültigen Fortsetzung eines bestehenden Pfades um ein Trimino. Daher ist der in $(x,y)$ einzutragende Wert die Summe der bereits eingetragenen Werte in den Feldern

wobei Felder außerhalb des Gitters den Beitrag $0$ liefern.

Nachdem alle Felder auf diese Weise ausgefüllt wurden, ist der Wert $75$ im Feld der rechten oberen Ecke genau die Anzahl der gültigen Trimino-Pfade vom linken unteren zum rechten oberen Eck.

Ergebnis:

$507$

Setze abkürzend

und

Die auftretenden Nenner haben alle eine Form wie $p+2q$. Da in den Zählern der gegebenen Brüche nur Quadrate vorkommen, kann man die Nenner dieser Brüche eliminieren, indem man in den Zählern Terme der Form $p^2-4q^2=(p+2q)(p-2q)$ erzeugt. Dies ergibt

Daraus folgt $X-4Y=-2$, also

Ergebnis:

$2+\sqrt{2}$

Seien $C_1$ und $C_2$ die Mittelpunkte der beiden Bälle und $d$ der horizontale Abstand zwischen diesen Mittelpunkten. Dann ist $d$ die Länge der Projektion der Strecke $C_1{C}_2$ auf die Unterseite des Quaders. Von oben betrachtet ergibt sich ein Quadrat mit der Seitenlänge $3$, wobei $C_1$ von zwei benachbarten Seiten jeweils den Abstand $1$ hat und $C_2$ von den beiden anderen benachbarten Seiten ebenfalls jeweils den Abstand $1$ hat.

Daher liegen in dieser Draufsicht die Projektionen von $C_1$ und $C_2$ an gegenüberliegenden Ecken eines Quadrats mit der Seitenlänge $1$. Folglich kann man $d$ mit dem Satz des Pythagoras als $d=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ berechnen.

Die vertikale Ebene, die beide horizontalen Flächen des Quaders diagonal schneidet, enthält die Mittelpunkte $C_1$ und $C_2$ der beiden Bälle. In der folgenden Abbildung kann man den Schnitt dieser Ebene mit den gegebenen Objekten sehen. Es entsteht ein Rechteck mit der gesuchten Höhe $a$.

Um nun $a$ berechnen zu können, fehlt nur noch die Länge des vertikalen Abstands von $C_1$ und $C_2$, die in der Abbildung mit $x$ bezeichnet wurde. Da die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks aus zwei Radien besteht, erhält man $x=\sqrt{2^2-d^2}=\sqrt{2}$. Schließlich berührt der erste Ball die Unterseite und der zweite Ball die Oberseite des Quaders, sodass die Höhe des Quaders die Summe aus dem Radius des ersten Balls, dem vertikalen Abstand zwischen den Mittelpunkten und dem Radius des zweiten Balls ist.

Also ergibt sich die gesuchte Höhe des Quaders zu $a=1+x+1=2+\sqrt{2}$.

Alternative Lösung. Stellt man den Quader auf seiner quadratischen Grundfläche so in ein kartesisches Koordinatensystem, dass eine Ecke die Koordinaten $(0,0,0)$ hat und die Seiten des Quaders parallel zu den Koordinatenachsen ausgerichtet sind, dann hat die diagonal gegenüber liegende Ecke die Koordinaten $(3,3,a)$. Weil der erste Ball so liegt, dass er zwei benachbarte vertikale Flächen und die Unterseite des Quaders berührt, hat sein Mittelpunkt die Koordinaten $(1,1,1)$. Analog folgt, da der zweite Ball die anderen beiden benachbarten vertikalen Flächen und die Oberseite des Quaders berührt, dass dieser die Koordinaten $(3-1,3-1,a-1)=(2,2,a-1)$ besitzt. Weil sich auch die beiden Bälle berühren, sind ihre Mittelpunkte genau zwei Radien voneinander entfernt, d.h. sie haben Abstand $2$. Durch Berechnung des Abstands im Dreidimensionalen erhält man mit Hilfe des Satzes von Pythagoras die Gleichung $\sqrt{{(2-1)}^2+{(2-1)}^2+{(a-2)}^2}=2$. Quadrieren ergibt ${(a-2)}^2=2$ und somit $a=\sqrt{2}+2$.