Competition problems 2008
We are extremely sorry to inform you that the Náboj competition will not take place this Friday 13th March 2020 due to the COVID-19 outbreak. Local governments in the participating countries are likely to impose further restrictive measures in more and more areas within today and tomorrow. The international team has, therefore, made the decision to postpone the competition indefinitely.

The new date of the competition is likely to be in the autumn (i.e. next academic year), we will let you know once it is selected. If you have any questions, please contact us via the email address info-gb@math.naboj.org.

Problem 1

Kolik různých trojúhelníků s celočíselnými délkami stran má obvod ? Které to jsou?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 2

V růžovém království se platí mincemi v hodnotě a . Určete největší částku, která se nedá pomocí těchto mincí přesně zaplatit.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 3

V cukrárně prodávají kremrole, věnečky a trubičky. Kolika způsoby si můžeme koupit právě 6 sladkostí, jestliže chceme od každého druhu alespoň jednu, ale nejvýš dva věnečky?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 4

Máme pět červených karet s čísly a čtyři modré s čísly . Jak je potřeba všechny karty uspořádat do řady, aby se střídaly barvy a každé číslo na modré kartě bylo dělitelné čísly na sousedních kartách?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 5

Čtverci o obsahu je vepsána kružnice a té je vepsán rovnostranný trojúhelník o obsahu . Určete poměr obsahů .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 6

Najděte všechna reálná čísla , která pro libovolné reálné splňují

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 7

Na strany čtverce se stranou délky umístíme zvenku rovnostranné trojúhelníky , , a . Spočtěte obsah čtyřúhelníka .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 8

Najděte největší násobek čísla , v jehož desítkovém zápisu jsou každé dvě cifry různé. Poznámka: desítkový zápis je běžně používaný zápis číslicemi 0 až 9.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 9

U cesty stojí dva sloupy vysoké a metrů. Z vršku každého z nich vede napnuté lano do spodku druhého. V jaké výšce se lana protínají?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 10

Jaký je ciferný součet čísla ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 11

Účastníci Jardáč, Franta a Kenny vyhráli na Náboji hromadu cukru, kterou si mají rozdělit mezi sebou v poměru . Pro cenu si však každý z nich přišel jindy a vždy si myslel, že dorazil jako první, tedy sebral si pouze část, která mu podle poměru patřila. Kolik cukru organizátorům soutěže po navštěvě všech tří účastníků zůstalo?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 12

Pavel a Rasťo si povídali celý večer. Když už jim ale došly nápady, začal Pavel vyjmenovávat všechny dvouprvkové podmnožiny . Rasťo si pokaždé zapsal do notýsku menší ze dvou čísel, která Pavel řekl. Když Pavel s vyjmenováváním skončil, Rasťo všechna čísla v notýsku sečetl. Kolik mu vyšlo?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 13

Rovnice má řešení a . Najděte všechny takové dvojice .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 14

Součet několika (ale nejméně dvou) po sobě jdoucích přirozených čísel je . Jaké největší číslo mezi nimi může být?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 15

Zuzka s Háňou hrají následující hru. Na začátku mají přirozené číslo a povolený tah je k němu přičíst nebo odečíst . Kdo dosáhne , vyhrává; tah do záporného čísla je zakázaný. Pro která může Zuzka, která začíná, vždy, nezávisle na tazích Háni, vyhrát?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 16

Pavel jednou vzal obdélníkový kus papíru, ustřihl mu roh, čímž získal pětiúhelník a trojúhelník. Pak si všiml, že strany pětiúhelníka mají délku , , , v nějakém pořadí. Dokážete určit, jaké byly původní rozměry papíru a jak dlouhé strany měl odstřižený trojúhelník?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 17

Žabák Jardáč skáče pouze celočíselné vzdálenosti. Jednou skákal po úsečce dlouhé z bodu do bodu . Vždy nejprve skočil polovinu vzdálenosti zbývající do bodu , dalším skokem skočil polovinu předchozího skoku zpět. Poté zase polovinu vzdálenosti k bodu a polovinu zpět, a tak dále. Kolik skoků by udělal, než by poprvé musel skočit neceločíselně?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 18

Nalezněte nejmenší přirozené číslo začínající číslicí , které se po odebrání této první číslice zmenší na své původní hodnoty.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 19

Pro kolik přirozených čísel platí ? Poznámka: značí nejmenší společný násobek čísel .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 20

Zjednodušte výraz

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 21

Pro přirozená čísla platí, že a . Zjistěte součet .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 22

Jarda si vybral pět čísel z množiny a řekl Zuzce jejich součin. Zuzka se snažila zjistit, zda je součet Jardových čísel sudý nebo lichý. Po chvíli usoudila, že se to zjistit nedá. Jaký byl onen součin, který Jarda Zuzce pověděl?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 23

Každá ze tří skříněk má dvě zásuvky, v každé zásuvce je jeden drahokam. V jedné skříňce jsou dva rubíny, v druhé jeden rubín a jeden smaragd a v poslední dva smaragdy. Zvolili jsme si náhodně skříňku a v ní zásuvku. Jestliže jsme v první zásuvce našli rubín, s jakou pravděpodobností bude i ve druhé rubín?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 24

Kolik existuje čtyřciferných čísel takových, že pro jejich cifry platí ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 25

V rovnoramenném lichoběžníku mají základny délky a . Navíc se lichoběžníku dá vepsat kružnice. Jaký je její poloměr?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 26

Najděte největší podmnožinu množiny takovou, že každé dva její prvky jsou nesoudělné, tedy nemají žádného společného dělitele.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 27

Pro která všechna přirozená čísla platí, že je dělitelné číslem ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 28

Mějme kružnici se středem o poloměru a bod takový, že . Tímto bodem veďme tečny ke kružnici , které se jí dotknou v bodech , . Dále si zvolme libovolný bod kratšího oblouku kružnice a jím veďme tečnu ke kružnici . Tato tečna protne úsečky a v bodech a . Určete obvod trojúhelníka .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 29

V krychli si vyznačme několik bodů: všechny vrcholy, všechny středy hran, všechny středy stěn a střed krychle. Kolik jsme jich vyznačili? Kolik existuje přímek takových, že procházejí právě dvěma vyznačenými body?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 30

Čtverci se stranou délky je vepsaný čtverec tak, že body , , leží po řadě na stranách , , . Body , a leží po řadě na úsečkách , a tak, že je čtverec. Vyjádřete obsah čtverce , jestliže víte, že obsah čtverce je .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 31

Jak lze rozdělit kruh na 7 částí se stejným obsahem jenom s pomocí pravítka (bez míry, bez délek, pravítko může být libovolně dlouhé) a kružítka? Není nutné rýsovat, ale je nutné ukázat postup konstrukce.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 32

V trojúhelníku je těžnice na stranu kolmá na těžnici na stranu . Určete délku strany , víte—li navíc , .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 33

Nad přeponou pravoúhlého trojúhelníku leží zvenku čtverec . Určete , víte-li a .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 34

Určete počet řešení rovnice

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 35

Kenny, Luboš a Monika postupně házejí poctivou mincí (pravděpodobnosti padnutí orla a panny jsou stejné). Všichni tři hrají hru, která vypadá následovně. Nejprve hodí Kenny, pak Luboš, pak Monika, pak zase Kenny, tak pořád dokola, dokud prvnímu z nich nepadne panna, a to je vítěz. S jakou pravděpodobností vyhraje Luboš?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 36

V rovině leží 8 bodů tak, že žádné tři neleží na jedné přímce. Kolik nejvíc trojúhelníků s vrcholy v těchto bodech lze vytvořit tak, aby měla každá dvojice trojúhelníků společný nejvýše jeden vrchol? Poznámka: překrývání trojúhelníků je povolené.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 37

Kuba s Pavlem namalovali na zeď tři kruhy, jejichž středy leží ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka se stranou délky a poloměry rovnými délce strany. Vzniklo jim sedm částí a každou by chtěli natřít jinou barvou. Kolik je bude celý obrazec stát, jestliže ceny natření jedné čtvereční jednotky jsou jako na obrázku níže?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 38

Vypočtěte hodnotu .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 39

Funkce splňuje pro všechna reálná , dále pro z intervalu . Najděte nejmenší kladné , pro které platí .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 40

Kouzelný automat umí vyplatit částku pomocí mincí v hodnotě od do . Kolika způsoby to může udělat, jestliže má dostatek každé hodnoty platidla? Při vyplácení záleží na pořadí.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 41

Najděte největší takové, že .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 42

Nechť je největší dvojciferné přirozené číslo, pro které existuje celé číslo a prvočíslo tak, že platí Která jsou čísla , ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 43

Víme, že pro reálná čísla platí a . Jakých hodnot může nabývat ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 44

Najděte přirozené číslo , pro které platí

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 45

Uvažujme posloupnosti skládající se pouze z písmen a takové, že každý souvislý úsek po sobě jdoucích písmen (který už nejde prodloužit) má sudou délku a úsek písmen lichou délku. Jsou to například , , . Najděte počet takových posloupností délky .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 46

V trojúhelníkové tabulce čísel jsou v prvním řádku čísla . Každý další řádek má o jedno číslo méně a jeho členy jsou součty čísel nad ním (takže druhý řádek je ). Kolik čísel z trojúhelníka je dělitelných ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 47

Najděte počet osmic nezáporných celých čísel splňujících pro a

Show / hide answer
Show / hide solution