Competition problems 2009
We are extremely sorry to inform you that the Náboj competition will not take place this Friday 13th March 2020 due to the COVID-19 outbreak. Local governments in the participating countries are likely to impose further restrictive measures in more and more areas within today and tomorrow. The international team has, therefore, made the decision to postpone the competition indefinitely.

The new date of the competition is likely to be in the autumn (i.e. next academic year), we will let you know once it is selected. If you have any questions, please contact us via the email address info-gb@math.naboj.org.

Problem 1

V Americe se pro měření teploty používají místo Celsiových stupňů stupně Fahrenheitovy. Přepočet z Celsiových stupňů na Fahrenheitovy lze provést podle vzorce ( jsou stupně Celsiovy, Farenheitovy). Jakou teplotu vyjádří Evropan i Američan stejnou hodnotou?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 2

Nalezněte všechny dvojice reálných čísel takové, že čísla , , , tvoří v tomto pořadí aritmetickou posloupnost.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 3

Miloš dostal na zkoušce z Esperanta otázek, na které lze odpovídat pouze ANO nebo NE. Test je připraven natolik fikaně, že odpoví-li Miloš na libovolných pět otázek ANO a na zbylých pět otázek NE, bude mít vždy alespoň čtyři správné odpovědi. Zjistěte, kolika způsoby lze takovýto test připravit.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 4

Najděte nejmenší možnou hodnotu parametru tak, aby nerovnice platila pro všechna nezáporná čísla .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 5

Mějme krychli a uvažujme všechny trojúhelníky s vrcholy ve vrcholech krychle. Kolik různých vnitřních úhlů se v těchto trojúhelnících objeví?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 6

Kolika způsoby lze seřadit čísla tak, aby absolutní hodnota čísel v seřazené posloupnosti byla neklesající?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 7

ABCDEF je pravidelný osmistěn o straně tvořený čtyřbokými jehlany a . Určete obsah čtyřúhelníku .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 8

Do políček tabulky jsou po řádcích (a v rámci řádku zleva doprava) vepsána čísla v tomto pořadí. Vybereme pět políček tak, aby žádná dvě nebyla ve stejném řádku ani ve stejném sloupci, a čísla na těchto políčkách sečteme. Jaké hodnoty součtu můžeme tímto způsobem dostat?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 9

Vypočítejte .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 10

Káťa našla po sobě jdoucích přirozených čísel, která měla stejný součet jako po nich následujících čísel. Které z Kátiných čísel bylo nejmenší?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 11

Kterému celému číslu je roven součin

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 12

Buď reálné číslo a splňující rovnice

Určete součet .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 13

Mějme posloupnost čísel, pro kterou platí a pro . Zjistěte hodnotu . Výraz značí největší celé číslo, které nepřesahuje .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 14

Pro která přirozená čísla není násobkem ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 15

Mějme pravidelný pětiúhelník . Sestrojme rovnostranný trojúhelník tak, aby bod ležel uvnitř pětiúhelníka. Kolik stupňů má úhel ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 16

Nalezněte všechna reálná řešení rovnice

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 17

Nechť , jsou takové konstanty, že body prostoru dané souřadnicemi , leží na jedné přímce. Určete .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 18

Najděte největší přirozené číslo takové, aby číslo bylo dělitelné číslem .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 19

Funkce pro každé splňuje . Je-li celé číslo, jaká je jeho největší možná dvojciferná hodnota? Výraz značí největší celé číslo, které nepřesahuje .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 20

Jarda si upekl dokonale kulatou palačinku a z jejího středu vykrojil kruh, takže teď z palačinky zbylo mezikruží. Když se na ni chystal dát kečup, všiml si, že nejdelší rovná čára, kterou umí kečupem nakreslit, aniž by ho vylil na stůl, je dlouhá cm. Jaký obsah má Jardova palačinka?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 21

Spočtěte součet

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 22

Vojenský pluk dlouhý tři kilometry pochoduje. Jejich nadřízený plukovník podél nich jezdí v autě třikrát rychleji, než vojáci pochodují. Vyjel s posledním vojákem a jede vždy přímo k prvnímu, otočí se a jede zpátky k poslednímu, pak se zase otočí a jede k prvnímu a tak pořád dokola. Jak daleko bude plukovník od posledního vojáka v momentě, kdy budou mít vojáci napochodováno km?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 23

Mějme trojúhelník s úhly . Nechť je kružnice se středem , která protíná stranu ve vnitřních bodech , , stranu ve vnitřních bodech , a stranu ve vnitřních bodech , . Najděte úhel , jestliže víte, že .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 24

Jaký zbytek dává po dělení číslem ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 25

Určete počet podmnožin množiny takových, že součet jejich prvků je roven .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 26

Najděte největší celé číslo, které dělí výraz pro každé .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 27

Do kružnice je vepsaný šestiúhelník , pro který platí . Určete obvod , víte-li, že .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 28

Nechť je libovolná permutace čísel . Pro kolik z těchto permutací platí, že pro každé ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 29

Zjednodušte: .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 30

Určete počet obdélníků (včetně čtverců) v tomto obrázku.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 31

Mřížový bod v rovině je takový, jehož obě souřadnice jsou celočíselné. Předpokládejme, že Pravoslav jde z bodu přímou cestou (po přímce) do náhodného mřížového bodu se souřadnicemi ve čtverci , , , včetně hranic (každý cílový bod má stejnou pravděpodobnost). Jaká je pravděpodobnost, že jeho cesta bude procházet sudým počtem mřížových bodů? Do cesty počítáme i počátek a konec.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 32

Označme si . Spočtěte

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 33

Čtyřúhelník má délky stran , , , a platí . Prozradíme vám, že tento čtyřúhelník má kružnici vepsanou. Dovedete určit její poloměr?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 34

Najděte všechna přirozená čísla , pro která je výraz třetí mocninou nějakého přirozeného čísla.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 35

Mějme čtverec se stranou a uvnitř něj bod tak, že . Navíc víte, že . Určete vzdálenost .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 36

Určete počet trojic přirozených čísel splňující následující vztahy

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 37

Mějme deset přirozených čísel uspořádaných do kruhu tak, že každé číslo je o jedna větší než největší společný dělitel jeho dvou sousedů. Najděte největší možný součet takto rozestavených čísel.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 38

Je dán pravidelný čtyřstěn s délkou hrany . Rovina rovnoběžná s hranami procházející středem rozřízne na dva kusy. Najděte povrch jednoho z těchto kusů.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 39

Všechna políčka tabulky vyplníme křížky a kolečky tak, že v každém sloupci i v každém řádku bude lichý počet křížků. Kolika způsoby můžeme tabulku takto vyplnit?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 40

V PraSátkově je měst. Nově zakládaná společnost Čuňas\&*spol. chce vytvořit letecké linky mezi městy v PraSátkově. Ví však, že vláda hodlá rozdělit PraSátkov na dva státy, oba po pěti městech. Ale bohužel neví, která města budou ve kterém státě. Při rozdělení státu se všechny linky mezi městy z různých států zruší. Poraďte Čuňasům, jaký nejmenší počet linek jim stačí vytvořit, aby po rozdělení PraSátkova mohli cestující s použitím leteckých linek Čuňas\&*spol. cestovat mezi libovolnými městy v rámci rozdělených států (klidně i s přestupy).

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 41

Mějme tětivový čtyřúhelník , jehož kružnice opsaná má poloměr . Délky stran jsou , , . Určete délku poslední strany.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 42

Buď množina všech trojic přirozených čísel , pro něž platí . Určete

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 43

Je dán trojúhelník a jeho kružnice vepsaná se středem . Ta se dotýká strany v bodě . Označme kružnici nad průměrem . Buď její druhý průsečík s přímkou a její druhý průsečík s přímkou . Víte-li, že , , , určete .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 44

Je dána tabulka x, v jejímž levém horním rohu je číslo a v pravém dolním je číslo . Rozhodněte, kolika způsoby lze vyplnit zbylá políčka tak, aby každé číslo dělilo číslo v políčku pod ním i číslo vpravo od něj.

Show / hide answer
Show / hide solution