Задачи с соревнования 2009

Задача 1

V Americe se pro měření teploty používají místo Celsiových stupňů stupně Fahrenheitovy. Přepočet z Celsiových stupňů na Fahrenheitovy lze provést podle vzorce ( jsou stupně Celsiovy, Farenheitovy). Jakou teplotu vyjádří Evropan i Američan stejnou hodnotou?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 2

Nalezněte všechny dvojice reálných čísel takové, že čísla , , , tvoří v tomto pořadí aritmetickou posloupnost.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 3

Miloš dostal na zkoušce z Esperanta otázek, na které lze odpovídat pouze ANO nebo NE. Test je připraven natolik fikaně, že odpoví-li Miloš na libovolných pět otázek ANO a na zbylých pět otázek NE, bude mít vždy alespoň čtyři správné odpovědi. Zjistěte, kolika způsoby lze takovýto test připravit.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 4

Najděte nejmenší možnou hodnotu parametru tak, aby nerovnice platila pro všechna nezáporná čísla .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 5

Mějme krychli a uvažujme všechny trojúhelníky s vrcholy ve vrcholech krychle. Kolik různých vnitřních úhlů se v těchto trojúhelnících objeví?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 6

Kolika způsoby lze seřadit čísla tak, aby absolutní hodnota čísel v seřazené posloupnosti byla neklesající?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 7

ABCDEF je pravidelný osmistěn o straně tvořený čtyřbokými jehlany a . Určete obsah čtyřúhelníku .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 8

Do políček tabulky jsou po řádcích (a v rámci řádku zleva doprava) vepsána čísla v tomto pořadí. Vybereme pět políček tak, aby žádná dvě nebyla ve stejném řádku ani ve stejném sloupci, a čísla na těchto políčkách sečteme. Jaké hodnoty součtu můžeme tímto způsobem dostat?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 9

Vypočítejte .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 10

Káťa našla po sobě jdoucích přirozených čísel, která měla stejný součet jako po nich následujících čísel. Které z Kátiných čísel bylo nejmenší?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 11

Kterému celému číslu je roven součin

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 12

Buď reálné číslo a splňující rovnice

Určete součet .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 13

Mějme posloupnost čísel, pro kterou platí a pro . Zjistěte hodnotu . Výraz značí největší celé číslo, které nepřesahuje .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 14

Pro která přirozená čísla není násobkem ?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 15

Mějme pravidelný pětiúhelník . Sestrojme rovnostranný trojúhelník tak, aby bod ležel uvnitř pětiúhelníka. Kolik stupňů má úhel ?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 16

Nalezněte všechna reálná řešení rovnice

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 17

Nechť , jsou takové konstanty, že body prostoru dané souřadnicemi , leží na jedné přímce. Určete .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 18

Najděte největší přirozené číslo takové, aby číslo bylo dělitelné číslem .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 19

Funkce pro každé splňuje . Je-li celé číslo, jaká je jeho největší možná dvojciferná hodnota? Výraz značí největší celé číslo, které nepřesahuje .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 20

Jarda si upekl dokonale kulatou palačinku a z jejího středu vykrojil kruh, takže teď z palačinky zbylo mezikruží. Když se na ni chystal dát kečup, všiml si, že nejdelší rovná čára, kterou umí kečupem nakreslit, aniž by ho vylil na stůl, je dlouhá cm. Jaký obsah má Jardova palačinka?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 21

Spočtěte součet

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 22

Vojenský pluk dlouhý tři kilometry pochoduje. Jejich nadřízený plukovník podél nich jezdí v autě třikrát rychleji, než vojáci pochodují. Vyjel s posledním vojákem a jede vždy přímo k prvnímu, otočí se a jede zpátky k poslednímu, pak se zase otočí a jede k prvnímu a tak pořád dokola. Jak daleko bude plukovník od posledního vojáka v momentě, kdy budou mít vojáci napochodováno km?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 23

Mějme trojúhelník s úhly . Nechť je kružnice se středem , která protíná stranu ve vnitřních bodech , , stranu ve vnitřních bodech , a stranu ve vnitřních bodech , . Najděte úhel , jestliže víte, že .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 24

Jaký zbytek dává po dělení číslem ?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 25

Určete počet podmnožin množiny takových, že součet jejich prvků je roven .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 26

Najděte největší celé číslo, které dělí výraz pro každé .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 27

Do kružnice je vepsaný šestiúhelník , pro který platí . Určete obvod , víte-li, že .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 28

Nechť je libovolná permutace čísel . Pro kolik z těchto permutací platí, že pro každé ?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 29

Zjednodušte: .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 30

Určete počet obdélníků (včetně čtverců) v tomto obrázku.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 31

Mřížový bod v rovině je takový, jehož obě souřadnice jsou celočíselné. Předpokládejme, že Pravoslav jde z bodu přímou cestou (po přímce) do náhodného mřížového bodu se souřadnicemi ve čtverci , , , včetně hranic (každý cílový bod má stejnou pravděpodobnost). Jaká je pravděpodobnost, že jeho cesta bude procházet sudým počtem mřížových bodů? Do cesty počítáme i počátek a konec.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 32

Označme si . Spočtěte

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 33

Čtyřúhelník má délky stran , , , a platí . Prozradíme vám, že tento čtyřúhelník má kružnici vepsanou. Dovedete určit její poloměr?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 34

Najděte všechna přirozená čísla , pro která je výraz třetí mocninou nějakého přirozeného čísla.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 35

Mějme čtverec se stranou a uvnitř něj bod tak, že . Navíc víte, že . Určete vzdálenost .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 36

Určete počet trojic přirozených čísel splňující následující vztahy

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 37

Mějme deset přirozených čísel uspořádaných do kruhu tak, že každé číslo je o jedna větší než největší společný dělitel jeho dvou sousedů. Najděte největší možný součet takto rozestavených čísel.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 38

Je dán pravidelný čtyřstěn s délkou hrany . Rovina rovnoběžná s hranami procházející středem rozřízne na dva kusy. Najděte povrch jednoho z těchto kusů.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 39

Všechna políčka tabulky vyplníme křížky a kolečky tak, že v každém sloupci i v každém řádku bude lichý počet křížků. Kolika způsoby můžeme tabulku takto vyplnit?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 40

V PraSátkově je měst. Nově zakládaná společnost Čuňas\&*spol. chce vytvořit letecké linky mezi městy v PraSátkově. Ví však, že vláda hodlá rozdělit PraSátkov na dva státy, oba po pěti městech. Ale bohužel neví, která města budou ve kterém státě. Při rozdělení státu se všechny linky mezi městy z různých států zruší. Poraďte Čuňasům, jaký nejmenší počet linek jim stačí vytvořit, aby po rozdělení PraSátkova mohli cestující s použitím leteckých linek Čuňas\&*spol. cestovat mezi libovolnými městy v rámci rozdělených států (klidně i s přestupy).

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 41

Mějme tětivový čtyřúhelník , jehož kružnice opsaná má poloměr . Délky stran jsou , , . Určete délku poslední strany.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 42

Buď množina všech trojic přirozených čísel , pro něž platí . Určete

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 43

Je dán trojúhelník a jeho kružnice vepsaná se středem . Ta se dotýká strany v bodě . Označme kružnici nad průměrem . Buď její druhý průsečík s přímkou a její druhý průsečík s přímkou . Víte-li, že , , , určete .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Задача 44

Je dána tabulka x, v jejímž levém horním rohu je číslo a v pravém dolním je číslo . Rozhodněte, kolika způsoby lze vyplnit zbylá políčka tak, aby každé číslo dělilo číslo v políčku pod ním i číslo vpravo od něj.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение