Soutěžní úlohy 2010
V návaznosti na opatření vlády týkající se koronaviru je soutěž Náboj ZRUŠENA. Máte-li otázky týkající se soutěže, kontaktujte nás na adrese info-cz@math.naboj.org nebo krejci@naboj.org.

Úloha 1

Kvádr s délkami hran , , má povrch . Najděte hodnotu čísla .

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 2

Pomocí právě tří osmiček a libovolných ze symbolů vytvořte číslo . Jeden symbol můžete použít i víckrát.

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 3

Vejtek měl knihu z teorie množin, jejíž listy byly číslované postupně , , , , Afro mu z ní jeden list vytrhnul. Teď je součet čísel na zbylých listech . List se kterým číslem Afro vytrhnul?

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 4

Alča postavila stavbu z několika jednotkových kostek, která se vejde do větší kostky rozměrů . Pepovi však nakreslila jen pohledy postupně z jihu a z východu. Najděte největší a nejmenší počet kostek, ze kterých může být stavba postavená, pokud máte stejně jako Pepa k dispozici pouze tento obrázek.

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 5

Blecha skáče po mřížových bodech čtverečkové sítě. Každým skokem se dostane o jeden mřížový bod výš, níž, doprava nebo doleva. Začne skákat z bodu . Do kolika mřížových bodů se může dostat přesně po deseti skocích?

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 6

Kolik existuje tříprvkových podmnožin množiny takových, že součin jejich prvků je dělitelný čtyřmi?

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 7

V aritmetické posloupnosti je součet členů s lichými indexy rovný . Zjistěte součet všech členů této posloupnosti.

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 8

V lichoběžníku (se základnami a ) platí = . Dále víme, že cm a cm. Zjistěte velikost úsečky .

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 9

Tři planety a obíhají kolem hvězdy po soustředných kružnicových dráhách (společný střed kružnic je hvězda ). Pohybují se konstantní rychlostí a mají různé periody oběhu: , a roků. Jednou se stalo, že tyto tři planety spolu s hvězdou ležely na jedné přímce. Kolik nejméně roků musí uplynout, aby a znovu ležely na jedné přímce?

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 10

Monča se v jednom svém snu ocitla v jedné zapadlé rovině. Nacházela se v bodě se souřadnicemi a vydala sa po přímce až do bodu . Kolik mřížových bodů (mřížový bod je takový, který má obě souřadnice celočíselné) cestou navštívila? Započítejte i počáteční a koncový bod.

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 11

Miloš má svoje oblíbené přirozené číslo. Víme, že je to nejmenší přirozené číslo takové, že čísla , mají obě ciferný součet dělitelný číslem . Najděte Milošovo oblíbené číslo.

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 12

Mějme půlkruh s poloměrem . Do něho vepíšeme největší kruh, jaký se vejde, a vybarvíme ho šedě. Potom do nešedého zbytku půlkruhu vepíšeme největší kruh, jaký se vejde, tak, aby průnik s šedým kruhem byl nanejvýš jednobodový. Jaký poloměr má menší kruh?

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 13

Kolika způsoby můžeme z různých hráčů sestavit tři týmy po čtyřech hráčích?

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 14

Vyčíslete výraz .

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 15

Auto jede z kopce rychlostí km/h, po rovině rychlostí km/h a do kopce rychlostí km/h. Cesta z města do města trvá hodiny. Zpáteční cesta trvá hodiny a minut. Jaká je vzdálenost po cestě mezi městy a ?

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 16

Na matfyzu máme podivný bankomat. Když k němu Honzík naposledy přišel, byla v něm hotovost korun v korunových mincích a nic jiného. Z bankomatu se dá buď vybrat přesně korun (za předpokladu, že v něm alespoň taková hotovost je) nebo do něj vložit přesně korun. Jakou největší hotovost si mohl Honzík vybrat, pokud u sebe na začátku neměl ani korunu? (Mohl vkládat a vybírat kolikrát chtěl a v libovolném pořadí.)

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 17

Slepíme tři stejně velké čtverce do tvaru L. Rozdělte tento útvar na osm shodných útvarů.

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 18

Olin dostal na Velikonoce šachovnici bez pravého horního a levého dolního rohového políčka. Kolika způsoby na ni může postavit osm veží tak, aby se navzájem neohrožovaly?

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 19

Kvadratická rovnice s parametrem má kořeny , . Předpokládejme, že

jsou kořeny kvadratické rovnice . Určete hodnotu (v závislosti na ).

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 20

Vejtek si vymyslel čtyři kladná, ne nutně celá čísla , , a . Potom má šest možností, jak vynásobit právě dvě z nich, konkrétně , , , , a . Frantovi ale Vejtek řekl pouze pět z těchto šesti součinů, konkrétně , , , a . Pomozte Frantovi najít šestý součin.

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 21

V klobouku kouzelníka Pokustóna se krčí černých a bílí králíci. Náhodně z klobouku vytáhneme králíků. Jaká je pravděpodobnost, že poslední vytažený králík bude černý?

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 22

Jaký zbytek dostaneme při dělení čísla dvanácti?

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 23

Kája má kus dřevěné desky tvaru rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka se stranami délky , a . Chce ho rozříznout jedním řezem na dva kusy se stejným obsahem. Poraďte Káje, kudy vést nejkratší řez (tj. úsečku), a určete jeho délku.

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 24

Která políčka můžeme ze šachovnice vystřihnout, aby se zbytek dal pokrýt kostičkami tvaru ?

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 25

Šavlík s Pepou hrají následující hru. Mají hromádku s zápalkami a střídají se v tazích. Každý musí ve svém tahu odebrat z hromádky kladný počet zápalek nepřevyšující polovinu zápalek na hromádce. Ten, kdo bude mít na začátku svého tahu jen jednu zápalku (a tedy nebude moci provést svůj tah), vyhraje. Když víte, že Šavlík začíná, najděte nejblíže k číslu takové, že Pepa může vyhrát (bez ohledu na to, jak dobře hraje Šavlík).

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 26

Trojúhelník má pravý úhel u vrcholu . Na straně se nachází bod , přičemž . Dále je výška z bodu na stranu . Najděte délku , pokud navíc víte, že .

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 27

Množina prvků. Nechť , jsou dvě náhodné podmnožiny . Jaká je pravděpodobnost, že je podmnožina ? Upřesnění: Při náhodném výběru podmnožiny vybereme každou z podmnožin se stejnou pravděpodobností (rovnou ). Výběry podmnožin a jsou navzájem nezávislé.

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 28

Najděte největší přirozené číslo takové, že rovnice má právě jedno řešení v přirozených číslech(tj. v číslech ).

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 29

Najděte alespoň jedno reálné číslo , pro které platí

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 30

Najděte všechny dvojice přirozených čísel takové, že má (v desítkové soustavě) na místě jednotek cifru , je prvočíslo a je druhou mocninou přirozeného čísla.

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 31

Na šachovnici je rozmístěných dominových kostiček tak, že každá z nich zakrývá dvě políčka šachovnice sousedící stranou. Žádné dvě dominové kostičky se nepřekrývají ani nedotýkají (a to ani rohem). Najděte nejmenší možné , pro které to může platit.

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 32

Nechť je rozklad čísla na prvočísla, ne nutně různá. Číslo nazveme zelené, pokud dělí . Nalezněte nejmenší zelené číslo větší než .

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 33

Pro každou uspořádanou dvojici přirozených čísel definujeme hodnotu . Víme, že pro všechna , přirozená platí

Najděte všechna přirozená čísla , pro která existuje přirozené číslo takové, že platí .

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 34

Na univerzitě je studentů. Ví se, že každý učitel učí právě studentů a pro každou dvojici (různých) studentů existuje právě učitelů, kteří je učí oba dva. Kolik učitelů je na univerzitě?

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 35

V rovině je nakreslených různých přímek. Když se protnou právě přímky v jednom bodě, nazveme tento průsečík modrý, když právě tři, nazveme ho červený. Našich přímek umíme rozdělit na tři trojice. Každá přímka z první trojice obsahuje červené a modrý bod, přímky z druhé trojice mají červené a modré body a každá přímka z třetí trojice má červené a modré body. Určete, na kolik částí dělí těchto přímek rovinu.

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 36

Najděte nejmenší reálné číslo takové, že pro všechna reálná čísla , platí .

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 37

Jsou-li a kladná celá čísla splňující , jaká je potom největší možná hodnota ?

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 38

Mišo chce nakreslit tabulku velikosti složenou ze malých čtverečků. Umí ale kreslit jenom čtverce (přesněji jejich obvody) libovolné velikosti. Vždycky kreslí celé čtverce a nemůže používat gumu. Kolik nejméně čtverců musí Mišo nakreslit, aby nakreslil celou tabulku a nic navíc?

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 39

Každé políčko šachovnice můžeme obarvit bíle nebo černě. Najděte počet různých obarvení takových, že každý čtverec obsahuje dvě bílá a dvě černá políčka.

Poznámka: Na orientaci šachovnice záleží. Dvě obarvení, která se liší jen otočením či překlopením, považujeme za různá.

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 40

Kubická rovnice má právě jeden reálný kořen . Víme, že . Najděte všechny rostoucí posloupnosti přirozených čísel takové, že platí

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 41

Konvexní šestiúhelník se stranami délek , , , , a je vepsaný do kružnice. Najděte její poloměr.

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení

Úloha 42

V krabici je několik barevných míčků, přičemž od každé barvy jich tam je stejný počet. Pokud do krabice přidáme míčků, které mají všechny stejnou barvu, ale různou od všech, které byly předtím v krabici, nezměníme tím pravděpodobnost, že při tahání dvou míčků bez vracení vytáhneme míčky stejné barvy. Kolik míčků bylo na začátku v krabici?

Zobrazit / skrýt výsledek
Zobrazit / skrýt řešení