Competition problems 2011
We are extremely sorry to inform you that the Náboj competition will not take place this Friday 13th March 2020 due to the COVID-19 outbreak. Local governments in the participating countries are likely to impose further restrictive measures in more and more areas within today and tomorrow. The international team has, therefore, made the decision to postpone the competition indefinitely.

The new date of the competition is likely to be in the autumn (i.e. next academic year), we will let you know once it is selected. If you have any questions, please contact us via the email address info-gb@math.naboj.org.

Problem 1

Čitateľ aj menovateľ Jefovho zlomku sú prirodzené čísla so súčtom . Hodnota zlomku je pritom menšia ako . Aká najväčšia môže byť hodnota Jefovho zlomku?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 2

Na obrázku pretína obdĺžnik kružnicu v bodoch , , , . Vieme, že , . Vypočítajte dĺžku úsesčky .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 3

Vypočítajte ciferný súčet čísla .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 4

Niekoľko mandaríniek sme rozdelili do troch sáčkov. V prvom sáčku je o šesť mandaríniek menej ako v zvyšných dvoch sáčkoch dohromady. Podobne, v druhom sáčku je o  mandaríniek menej ako v zvyšných dvoch sáčkoch dohromady. Koľko mandaríniek je v treťom sáčku?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 5

Na stole je 33 orechov rozdelených aspoň na dve kôpky. V každej kôpke sú aspoň dva orechy. Ak zo všetkých kôpok zoberieme jeden orech a položíme ho na prvú kôpku, tak bude na všetkých kôpkach rovnako veľa orechov. Koľko kôpok mohlo byť pôvodne na stole? Zistite všetky možnosti.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 6

Obdĺžnik je dvoma úsečkami rovnobežnými s jeho stranami rozdelený na štyri menšie obdĺžniky. Označme ich , , , rovnako ako na obrázku. Obvody obdĺžnikov , sú po rade  cm,  cm a  cm. Aké hodnoty môže nadobúdať obvod obdĺžnika ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 7

Nájdite rozdielne cifry , a (v desiatkovej sústave) také, aby platil nasledujúci sčítací vzťah:

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 8

Určte obsah obdĺžnika, ak viete, že jeho obvod je  cm a jeho uhlopriečka má dĺžku  cm.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 9

Edo si zobral rovnako veľkých kociek a postavil z nich jednu veľkú kocku o rozmeroch . Celý povrch veľkej kocky zafarbil a potom ju celú rozložil na pôvodné kocky. Určte , ak viete, že je zafarbená desatina celkového povrchu malých kociek.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 10

Koľko najmenej členov má matematický klub, v ktorom je zastúpenie žien väčšie ako , ale menšie ako ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 11

Ak zväčšíte číslo úlohy, ktorú práve držíte v ruke o číslo , získate číslo úlohy s najviac šokujúcim zadaním. Ak ho ale zväčšíte o dvojciferné číslo , získate číslo najhravejšej úlohy. Naviac platí, že . Určte a , ak viete, že vám zostáva ešte úloh (vrátane tejto).

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 12

Nájdite prirodzené číslo spĺňajúce vzťah .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 13

Nájdite najmenšie prirodzené číslo, ktorého desiatkový zápis končí na , je deliteľné timi a má ciferný súčet .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 14

Každá dvojica po sebe idúcich cifier istého -ciferného čísla je násobkom alebo . Jeho posledná cifra je . Určte jeho prvú cifru.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 15

Prirodzené číslo nazveme luxusné, ak každé iné číslo s rovnakým ciferným súčtom je od neho väčšie. Zistite, koľko je trojciferných luxusných čísel.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 16

Škrečkove reálne čísla , , spĺňajú . Aké hodnoty môže nadobúdať výraz ? Nájdite všetky možnosti.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 17

Číslice napíšeme za sebou v nejakom poradí tak, aby vzniklo deväťciferné číslo. Uvažujme všetky trojice po sebe idúcich cifier tohto čísla a k týmto trojiciam zodpovedajúce trojciferné čísla sčítame. Aký najväčší výsledok môžeme dostať?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 18

V každom políčku tabuľky je napísané číslo. Filip si vybral dve čísla z tabuľky a do zošita si napísal ich súčin. Toto spravil pre všetky dvojice čísel z tabuľky. Všimol si, že práve z týchto súčinov je záporných. Koľko z pôvodných čísel mohlo byť rovných nule? Vypíšte všetky možnosti.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 19

V istom kráľovstve začali raziť mince. Počas prvého dňa razili mince v hodnote fufeň. Každý ďalší deň razili mince v najmenšej hodnote, ktorá sa nedala zaplatiť pomocou maximálne desiatich už vyrazených mincí. Mince akej hodnoty razili počas -teho dňa?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 20

Označme riešenie úlohy na tomto papieri. Určte pravdepodobnosť (číslo z intervalu ), že náhodne vybraný bod vnútri štvorca so stranou  cm je od všetkých jeho strán vzdialený aspoň  cm.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 21

Tabuľka je vyplnená celými číslami. Súčty čísel v riadkoch zhora nadol stúpajú o  a súčty čísel v stĺpcoch zľava doprava sa zdvojnásobujú. Ak je súčet jedného z riadkov , tak aký je súčet čísel v ľavom stĺpci?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 22

Dva trajekty vyplávali naraz proti sebe cez zátoku. Oba plávali po priamke konštantnou, ale rozdielnou rýchlosťou. Prvýkrát sa stretli vo vzdialenosti  m od jedného brehu. Keď každý z nich doplával k protiľahlému brehu, ihneď sa otočil a plával rovnakou cestou naspäť. Na spiatočnej ceste sa stretli trajekty vo vzdialenosti  m od druhého brehu. Aká široká je zátoka?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 23

Vrcholy hviezdy na obrázku tvoria pravidelný sedemuholník. Aká je veľkosť vyznačeného uhla?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 24

Nájdite spĺňajúce vzťah .

Poznámka: poschodové mocniny sa vyhodnocujú zhora, tj. .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 25

Zistite počet usporiadaných trojíc prirodzených čísel takých, že a

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 26

V rovine je daná kružnica s polomerom , stredom a priemerom . Označme kolmicu na priemer prechádzajúcu bodom . Zvolíme bod na priamke mimo kružnice taký, že ak označíme druhý priesečník kružnice s priamkou ako , tak platí . Určte dĺžku úsečky .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 27

Bitky dvoch armád a sa zúčastnilo dokopy vojakov. Armády strieľali v salvách. V každej salve zastrelil každý vojak jedného vojaka z nepriateľskej armády (ak je to možné, tak každý iného). V tejto bitke strieľala najprv armáda , potom armáda a nakoniec armáda . Najmenej koľko vojakov bitku určite prežilo?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 28

Všetkých šesť strán konvexného šesťuholníka je zafarbených na červeno. Každú z uhlopriečok zafarbíme buď na červeno, alebo na modro. Koľko je zafarbení takých, že každý trojuholník () má aspoň jednu zo svojich strán zafarbenú na červeno?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 29

Petržlen najskôr povedal jedno prirodzené číslo Škrečkovi a jedno prirodzené číslo Jefovi. Potom im povedal, že ich čísla sú rôzne a súčet ich čísel je dvojciferné číslo. Následne sa začali Škrečok s Jefom rozprávať:

Škrečok: „Neviem povedať, kto z nás má väčšie číslo.“

Jefo: „Ani ja, ale prezradím, že moje číslo je deliteľné mi.“

Škrečok: „Aha!, tak ja už teraz viem aký je súčet našich čísel.“

Čomu sa rovná tento súčet, ak obaja uvažovali bezchybne?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 30

V kaviarni sú Indovia a Turci a dohromady je ich . Každý z nich pije buď kávu alebo čaj. Ind je pravdovravný práve vtedy, keď pije čaj. Turek je pravdovravný práve vtedy, keď pije kávu. Na otázky: „Pijete kávu?“, „Ste Turek?“ a „Prší vonku?“ boli počty kladných odpovedí postupne , a (každý odpovedal práve raz). Koľko Indov pije čaj? Nájdite všetky možnosti.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 31

Za pravý koniec prirodzeného čísla v desiatkovom zápise boli dopísané tri cifry, čím vzniklo číslo, ktoré je súčtom všetkých prirodzených čísel od po vrátane. Zistite všetky možné hodnoty čísla .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 32

Amanda, Bohumila, Celestína, Dobroslava a Etelka hrajú turnaj v štvorhre v stolnom tenise. Každá dvojica hrala proti každej inej dvojici práve raz. Amanda vyhrala dokopy 12 zápasov a Bohumila ich vyhrala 6. Koľko zápasov mohla vyhrať Celestína? Nájdite všetky možnosti.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 33

Dvaja hráči hrajú na uvedenom pláne pozostávajúceho z 30 políčok hru podľa nasledujúcich pravidiel:

Koľko políčok bude vyfarbených na konci hry, v ktorej obaja hráči hrajú bezchybne a ten, kto nemôže vyhrať, sa snaží hru čo najviac predlžovať?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 34

V trojuholníku platí . Vo vnútri strany bližšie k bodu určíme bod tak, aby . Ďalej určíme bod tak, aby a aby body ležali v opačných polrovinách určených priamkou . Vieme, že všetky uhly v trojuholníkoch sú vyjadrené celočíselne v stupňoch. Zistite, aké hodnoty môže nadobúdať uhol .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 35

Desať ľudí sedelo za radom vedľa seba v divadle. Po prestávke si sadli tak, že práve dvaja z nich zostali na svojich pôvodných miestach a zvyšných osem sa posadilo na stoličku jedného zo susedov. Koľkými spôsobmi to mohli urobiť?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 36

Na každej stene kocky je napísané prirodzené číslo. Každému vrcholu kocky priradíme súčin čísel napísaných na troch príľahlých stenách. Vieme, že súčet čísel priradených vrcholom je . Aké hodnoty môže nadobúdať súčet čísel na stenách?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 37

Dvaja cyklisti pretekali na rovnej ulici v cestnom maratóne. Štartovali spoločne v rovnaký čas a z rovnakého konca ulice. Ak ľubovoľný z nich dorazil na ľubovoľný koniec ulice, tak sa otočil a išiel späť. Do okamihu, kým sa obaja zase stretli na jednom z koncov ulice, prešiel prvý z nich ulicu -krát a druhý -krát. Koľkokrát sa počas tejto doby čelne minuli?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 38

Nájdite najväčšie prirodzené číslo také, že všetky cifry okrem prvej a poslednej sú menšie ako aritmetický priemer susedných dvoch cifier.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 39

Dve tetrisové kocky zostavené zo štvorcov o rozmeroch dm sa dotýkajú v bodoch , , ako na obrázku. Určte vzdialenosť .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 40

V rovine je daných rôznych mrežových bodov. Každé dva rôzne body spojíme úsečkou. Najmenej koľko z týchto úsečiek má stred v mrežovom bode?

Poznámka: bod v rovine nazývame mrežový, ak sú obe jeho súradnice celočíselné.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 41

Päťciferné číslo nazveme nerozložiteľné, ak sa nedá napísať ako súčin dvoch trojciferných čísel. Najviac koľko nerozložiteľných čísel môže nasledovať bezprostredne za sebou?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 42

Reálne čísla a spĺňajú . Nájdite minimálnu hodnotu výrazu .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 43

Postupnosť vytvárame postupne pomocou vzorca

kým má pravá strana zmysel (tj. nedelí sa nulou). Navyše vieme, že a . Určte najmenšie také, že .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 44

Je daný ostrouhlý trojuholník s výškami , , , ktoré sa pretínajú v bode . Navyše platí

Určte .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 45

Na oslave každý (vrátane Ondra) pozná práve sedem chlapcov a presne desať dievčat. Známosti sú vzájomné a nikto nepozná sám seba. Koľko najmenej ľudí mohlo byť na oslave?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 46

Bod je stredom strany obdĺžnika . Obe kružnice vpísané troj\-*uholníkom majú polomer a kružnica vpísaná trojuholníku má polomer . Určte veľkosti strán obdĺžnika.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 47

Kladných deliteľov prirodzeného čísla menších od si napíšeme od najväčšieho po najmenšieho. Ak je súčet druhého a tretieho napísaného čísla rovný prvému napísanému číslu, tak číslo nazveme sčítacie. Koľko existuje sčítacích čísel menších ako ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 48

Nájdite všetky reálne čísla spĺňajúce vzťah

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 49

Umiestnenie hodinovej a minútovej ručičky na ciferníku nazývame korektné, ak vyjadruje skutočný čas v priebehu dňa. Zistite, koľko existuje takých korektných umiestnení, ktoré zostanú korektné aj po zámene ručičiek.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 50

Nech , , sú také nenulové reálne čísla, že kvadratické trojčleny a majú spoločný koreň. Určte, aké hodnoty môže tento spoločný koreň nadobúdať.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 51

Nájdite všetky celé čísla také, že obe čísla a sú druhými mocninami nejakých prirodzených čísel.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 52

Je daný pravidelný osemsten s hranou dĺžky . Jednej jeho stene vpíšeme kružnicu a stene s ňou susediacej kružnicu opíšeme. Aká je najmenšia vzdialenosť medzi týmito dvoma kružnicami?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 53

Je daný trojuholník s polomerom opísanej kružnice a polomerom vpísanej kružnice . Vnútri trojuholníka sú do uhlov , , vpísané zhodné kružnice s polomerom tak, že existuje ďalšia kružnica s polomerom , ktorá má so všetkými z nich vonkajší dotyk. Určte .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 54

Pre reálne čísla , , , platí

Určte hodnotu .

Show / hide answer
Show / hide solution