Competition problems 2012
We are extremely sorry to inform you that the Náboj competition will not take place this Friday 13th March 2020 due to the COVID-19 outbreak. Local governments in the participating countries are likely to impose further restrictive measures in more and more areas within today and tomorrow. The international team has, therefore, made the decision to postpone the competition indefinitely.

The new date of the competition is likely to be in the autumn (i.e. next academic year), we will let you know once it is selected. If you have any questions, please contact us via the email address info-gb@math.naboj.org.

Úloha 1J

Ak hranu kocky zväčšíme o , tak o koľko percent sa zväčší jej objem?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 2J

Najviac na koľko častí sa dá tromi priamkami rozdeliť medzikružie?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 3J

Ak je päťciferné číslo deliteľné , zistite hodnotu súčinu .

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 4J

Učiteľ matematiky sa rozhodol usporiadať dve kolá minináboja päťčlenných družstiev vo svojej triede. V prvom kole sa žiaci rozdelili do družstiev ako chceli a v druhom kole ich učiteľ rozdelil tak, aby nikto nebol v družstve s nikým, s kým bol v družstve v prvom kole. Aký je najmenší počet žiakov, pre ktorý sa to učiteľovi vždy podarí?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 5J

Vanilkový koláč tvaru kvádra s rozmermi je na celom povrchu pokrytý tenkou vrstvou čokolády. Koláč rozrežeme na kocky . Koľko percent kúskov nemá na sebe žiadnu čokoládu?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 6J

Majme štvorec so stranou dĺžky a bod ležiaci mimo neho tak, že platí . Akú dĺžku má najdlhšia uhlopriečka päťuholníka ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 7J

V súčine každú cifru zväčšite alebo zmenšite o 1 tak, aby bol výsledok správny. Aký bude výsledok?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 8J

Pre celé čísla a platí, že ich súčet je nanajvýš a ich rozdiel je menší ako . Nájdite maximálnu hodnotu, ktorú môže nadobúdať výraz . Výraz má hodnotu najmenšieho čísla z dvojice , podobne má hodnotu najväčšieho čísla z dvojice .

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 9J

Pre reálne čísla , a platí, že aritmetický priemer čísel a je rovný a aritmetický priemer čísel a je rovný . Aký je aritmetický priemer čísel , a ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 10J

V mrežových bodoch štvorcovej mriežky stojí 81 stromov. Záhradník vyrezal jeden z rohových stromov a teraz sa z jeho miesta pozerá na ostatné stromy. Niektoré však nevidí, pretože ich zakrývajú iné a to práve takto: strom je zakrytý práve vtedy ak na úsečke medzi stromom a záhradníkom leží iný strom, t.j. mrežový bod. Koľko stromov vidí záhradník?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 11J / 1S

Koľkými spôsobmi vieme ofarbiť steny kocky čiernou a bielou farbou? Dve ofarbenia považujeme za rovnaké, ak dokážeme otočením jedného z nich dostať druhé.

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 12J / 2S

Majme obdĺžnik so stranami a . Na polpriamke leží bod taký, že . Bod leží vo vnútri , pričom platí, že vzdialenosť od aj je . Priamka pretína strany a postupne v bodoch a . Zistite obsah štvoruholníka .

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 13J / 3S

Pre koľko prirodzených čísel , , je číslo druhou mocninou prirodzeného čísla?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 14J / 4S

Majme rovnostranný trojuholník so stranou položený na podlahe. Jeden z jeho bodov zafarbíme na červeno. Trojuholník kotúľame po podlahe a trikrát ho preklopíme. Akú dlhú dráhu prejde červený bod?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 15J / 5S

Aké je najmenšie kladné číslo zložené iba z núl a jednotiek, ktoré je deliteľné ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 16J / 6S

Bill je dosť starý na to, aby volil, ale nie dosť na to, aby mohol využívať dôchodcovskú zľavu (jeho vek je medzi 18 a 70). Je o ňom známe, že pred rokmi bol jeho vek odmocninou z jeho veku o rokov. Billov vek je druhou mocninou prirodzeného čísla. Nájdite prirodzené číslo .

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 17J / 7S

Priložme ľavý dolný roh obdĺžnikového papiera k pravému hornému rohu. Vznikne tak útvar rozdelený na tri trojuholníky, ktorých strany tvoria okraje papiera, a čiara zohnutia. Pre aký pomer dĺžok strán papiera je pomer obsahov týchto troch trojuholníkov ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 18J / 8S

Koľko je trojciferných čísel deliteľných šiestimi, v ktorých je každá cifra väčšia ako ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 19J / 9S

Dané sú tri kružnice s polomerom , pričom každé dve z nich sa navzájom zvonka dotýkajú. Týmto kružniciam opíšeme kružnicu tak, aby sa jej zvnútra dotýkali všetky 3 kružnice. Vypočítajte polomer kružnice .

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 20J / 10S

Nech je prirodzené číslo. Ak má cifru na mieste desiatok , akú cifru môže mať na mieste jednotiek?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 21J / 11S

Ak napíšeme čísla v nejakom poradí, získame tak -reťazec. Napríklad, jeden z možných -reťazcov dĺžky 11 je:

Aké je najmenšie také, že existuje -reťazec, ktorý je palindrómom (číta sa odpredu rovnako ako odzadu)?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 22J / 12S

Nájdite všetky trojice kladných reálnych čísel a , pre ktoré platí , a .

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 23J / 13S

Majme kruh s polomerom a v ňom dve kolmé tetivy, ktoré delia kruh na časti. Ofarbíme časť s najväčším a časť s najmenším obsahom čiernou, zvyšné necháme biele. Vieme, že obsah bielych častí bude taký ako obsah čiernych častí. Aká je maximálna možná vzdialenosť dlhšej tetivy od stredu kružnice?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 24J / 14S

Strážnik má za úlohu strážiť tri objekty. Má obchôdzkové trasy ako na obrázku. Jedna obchôdzka začína v bode , prejde cez každý úsek práve raz a vráti sa na začiatok. Ak záleží na smere obchádzania budovy, tak koľko rôznych obchôdzok existuje?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 25J / 15S

Lichobežník má strany dĺžky , , a v tomto poradí, pričom rovnobežné sú strany dlhé a . Aký má obsah?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 26J / 16S

V rade za sebou stojí ľudí a chcú sa zoradiť podľa výšky tak, aby vpredu stál najvyšší. V jednom ťahu si môžu vymeniť miesto dvaja za sebou. Koľko najmenej ťahov potrebujú na to, aby sa týmto spôsobom zoradili, keď stoja na začiatku ľubovoľne?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 27J / 17S

Petržlen žije v zeleninovom štáte, kde sa platí iba mincami v hodnote alebo . Ak by mal Petržlen z oboch druhov mincí ľubovoľný počet, aká je najvyššia cena, ktorú nimi nevie zaplatiť?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 28J / 18S

Rozdelíme kruh s polomerom ľubovoľným spôsobom na štyri súvislé časti. Aký najmenší obvod môže mať časť s najväčším obsahom? Ak má viacero častí najväčší obsah, tak berieme tú s najmenším obvodom.

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 29J / 19S

Nájdite súčet všetkých reálnych čísel , pre ktoré majú rovnice a aspoň jeden spoločný reálny koreň.

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 30J / 20S

Koľko je takých osemciferných prirodzených čísel, že po škrtnutí ich prvej cifry zostane číslo -krát menšie ako pôvodné?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 31J / 21S

Máme pravouhlý trojuholník, ktorého všetky strany majú celočíselnú dĺžku. Ak má jedna z jeho strán dĺžku , aký môže mať najväčší obsah?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 32J / 22S

Nech je trojuholník so stredom kružnice opísanej a priesečníkom výšok , pričom body , , , a majú celočíselné súradnice a žiadne dva nesplývajú. Aký je druhý najmenší možný polomer kružnice opísanej trojuholníku ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 33J / 23S

Nájdite najväčšie prirodzené číslo také, že číslo je deliteľné .

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 34J / 24S

Ak počítame súčin cifier daného čísla, potom súčin cifier tohto súčinu, potom znova súčin cifier nového súčinu atď., nutne po nejakom počte krokov dospejeme k jednocifernému číslu. Tento počet krokov nazývame vytrvalosťou čísla. Napr. číslo má vytrvalosť , lebo (1. krok) a (2. krok). Nájdite najväčšie párne číslo s navzájom rôznymi nenulovými ciframi a vytrvalosťou .

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 35J / 25S

Ak strany a konvexného štvoruholníka predĺžime, tak sa pretnú v bode . Označme a postupne stredy a . Nájdite pomer obsahu trojuholníka a obsahu štvoruholníka . Prezradíme vám, že tento pomer je rovnaký pre každý konvexný štvoruholník , ktorého strany a nie sú rovnobežné.

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 36J / 26S

Kockaté termity vyvŕtali cez kocku so stranou v každom smere štyri rovné chodbičky ako na obrázku a opustili ju. To, čo z kocky zostalo, chceme ofarbiť antitermitovou farbou. Koľko centimetrov štvorcových musíme ofarbiť?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 37J / 27S

Máme kruh s polomerom a stojíme na najľavejšom bode jeho obvodu. Môžeme sa hýbať len doprava a hore. Akú dĺžku má najdlhšia trasa, ktorú môžeme prejsť, ak nechceme z kruhu vyjsť?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 38J / 28S

Aký je najväčší deliteľ čísla taký, že po vydelení dáva zvyšok ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 39J / 29S

Máme kocku a v nej nasledovných bodov: vrcholy kocky, stredy hrán, stredy stien a stred kocky. Koľko je priamok, ktoré prechádzajú práve cez tri body?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 40J / 30S

Sútaže trvajúcej dní sa zúčastnilo účastníkov. Každý deň všetci účastníci získali skóre bodov, pričom žiadni dvaja nemali rovnaký počet bodov za daný deň. Na konci súťaže (-ty deň večer po súťaži) mal každý účastník v súčte za všetky dni skóre bodov. Nezávisle od , nájdite súčet všetkých , pre ktoré je to možné.

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 41J / 31S

Máme tortu, ktorú chceme rozrezať. Torta má tvar valca a každý rez má tvar roviny. Napríklad dvoma rezmi ju vieme rozrezať na štyri časti a troma rezmi na osem častí. Na koľko najviac častí ju vieme rozrezať piatimi rezmi?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 42J / 32S

Osemramenná hviezda je teleso, ktoré vznikne prilepením pravidelných štvorstenov na všetky steny pravidelného osemstena. Hrany osemstena aj všetkých štvorstenov majú dĺžku . Aký objem má osemramenná hviezda?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 43J / 33S

Stopár ide po ceste. Šanca, že v najbližších minútach stretne auto je . Ak je v každom okamihu rovnaká šanca, že stretne auto, tak aká je šanca, že stretne auto v najbližších piatich minútach?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 44J / 34S

Vandal a moderátor upravujú článok na Wikipédii. Na začiatku bol článok bez chyby a každý deň vandal pridal jeden chybný údaj. Na konci každého dňa má moderátor šancu na nájdenie každej jednotlivej chyby, ktorá ešte v článku je. Aká je šanca, že po troch dňoch bude článok bezchybný?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 45J / 35S

Máme k dispozícii neobmedzenú zásobu červených, modrých a žltých kariet. Za každú kartu sa dostávajú body, a to nasledovne:

Koľko najviac bodov dokážeme získať pomocou pätnástich kariet?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 46J / 36S

Matúš má jednu -stennú hraciu kocku a CDčko má tri -stenné hracie kocky. Aká je šanca, že po hodení kockami bude hodnota na Matúšovej kocke väčšia, ako súčet hodnôt na CDčkových kockách?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 47J / 37S

Majme tabuľku . Riadky, resp. stĺpce očíslujeme postupne zľava doprava resp. zhora, dole číslami od po . Do každého políčka vpíšeme súčin čísla riadku a čísla stĺpca, v ktorom sa nachádza. Stanka stojí na políčku v ľavom hornom rohu a chce sa dostať na políčko v pravom dolnom rohu. Stanka môže chodiť iba doprava a dole (šikmo nie). Stankine číslo je súčinom čísel na políčkach, na ktoré Stanka stúpila (vrátane prvého a posledného). Ak uvažujeme všetky možné Stankine čísla, aký je ich najväčší spoločný deliteľ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 48J / 38S

Majme trojuholník s výškami dlhými , a . Aký je jeho obvod?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 49J / 39S

Nájdite najväčšie prirodzené číslo , pre ktoré je výraz racionálny.

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 50J / 40S

Majme Maxištvorec tvorený deviatimi štvorcovými kachličkami. Každá kachlička je rozdelená na štyri rovnaké štvorčeky, v ktorých sú vpísané čísla , , a (každé práve raz). Dve kachličky sa môžu dotýkať len rovnakými číslami (ako dominá). Koľko rôznych Maxištvorcov existuje?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 51J / 41S

Ondro svoje obľúbené číslo (zapísané v desiatkovej sústave a bez nuly na začiatku) nazýva balónik. Pre balónik platí:

Určite hodnotu Ondrovho balónika.

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 52J / 42S

Štvorciferné číslo je také, že posledné cifry z je číslo samo. Nájdite .

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 53J / 43S

Zistite súčet všetkých päťciferných palindrómov. Palindróm je číslo, ktoré vyzerá rovnako spredu aj zozadu. Napr. 12321 je palindróm.

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 54J / 44S

Majme štyri nepárne prirodzené čísla , , a , ktoré spĺňajú . Koľkými rôznymi spôsobmi môžeme tieto čísla vybrať?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 55J / 45S

Nájdite jediné jedenásťciferné prirodzené číslo začínajúce jednotkou také, že keď ho napíšeme dvakrát za sebou, tak dostaneme druhú mocninu nejakého prirodzeného čísla.

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 56J / 46S

Dva rôzne trojuholníky so stranami dĺžok , a majú spoločnú vpísanú aj opísanú kružnicu. Aký obsah má ich spoločná plocha?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 57J / 47S

Majme mriežku . Každý štvorček chceme zafarbiť bielou alebo čiernou farbou, aby platilo, že v každom riadku aj stĺpci sú práve dva čierne štvorčeky. Koľkými spôsobmi to vieme urobiť?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 58J / 48S

Body a sú vo vnútri štvorca so stranou 1. Diaľkou vrchola štvorca označme jeho vzdialenosť k bližšiemu z bodov a . Aký je najmenší možný súčet diaľok vrcholov štvorca?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 59J / 49S

Parkovisko pozostáva z parkovacích miest pravidelne rozložených v jednom rade označených číslami . Postupne tam po jednom zaparkuje áut, pričom postupujú nasledovne:

Aká je pravdepodobnosť, že posledné auto zaparkuje na mieste s číslom ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Úloha 60J / 50S

Nájdite všetky reálne čísla spĺňajúce .

Show / hide answer
Show / hide solution