Задачи с соревнования 2012
К сожалению, олимпиада Náboj в пятницу 13 марта 2020 была отменена в большинстве стран проведения из-за эпидемии короновирса COVID-19. В связи с этим международный оргкомитет принял решение о переносе олимпиады на неопредленный срок (скорее всего, до осени).

Úloha 1J

Ak hranu kocky zväčšíme o , tak o koľko percent sa zväčší jej objem?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 2J

Najviac na koľko častí sa dá tromi priamkami rozdeliť medzikružie?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 3J

Ak je päťciferné číslo deliteľné , zistite hodnotu súčinu .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 4J

Učiteľ matematiky sa rozhodol usporiadať dve kolá minináboja päťčlenných družstiev vo svojej triede. V prvom kole sa žiaci rozdelili do družstiev ako chceli a v druhom kole ich učiteľ rozdelil tak, aby nikto nebol v družstve s nikým, s kým bol v družstve v prvom kole. Aký je najmenší počet žiakov, pre ktorý sa to učiteľovi vždy podarí?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 5J

Vanilkový koláč tvaru kvádra s rozmermi je na celom povrchu pokrytý tenkou vrstvou čokolády. Koláč rozrežeme na kocky . Koľko percent kúskov nemá na sebe žiadnu čokoládu?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 6J

Majme štvorec so stranou dĺžky a bod ležiaci mimo neho tak, že platí . Akú dĺžku má najdlhšia uhlopriečka päťuholníka ?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 7J

V súčine každú cifru zväčšite alebo zmenšite o 1 tak, aby bol výsledok správny. Aký bude výsledok?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 8J

Pre celé čísla a platí, že ich súčet je nanajvýš a ich rozdiel je menší ako . Nájdite maximálnu hodnotu, ktorú môže nadobúdať výraz . Výraz má hodnotu najmenšieho čísla z dvojice , podobne má hodnotu najväčšieho čísla z dvojice .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 9J

Pre reálne čísla , a platí, že aritmetický priemer čísel a je rovný a aritmetický priemer čísel a je rovný . Aký je aritmetický priemer čísel , a ?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 10J

V mrežových bodoch štvorcovej mriežky stojí 81 stromov. Záhradník vyrezal jeden z rohových stromov a teraz sa z jeho miesta pozerá na ostatné stromy. Niektoré však nevidí, pretože ich zakrývajú iné a to práve takto: strom je zakrytý práve vtedy ak na úsečke medzi stromom a záhradníkom leží iný strom, t.j. mrežový bod. Koľko stromov vidí záhradník?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 11J / 1S

Koľkými spôsobmi vieme ofarbiť steny kocky čiernou a bielou farbou? Dve ofarbenia považujeme za rovnaké, ak dokážeme otočením jedného z nich dostať druhé.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 12J / 2S

Majme obdĺžnik so stranami a . Na polpriamke leží bod taký, že . Bod leží vo vnútri , pričom platí, že vzdialenosť od aj je . Priamka pretína strany a postupne v bodoch a . Zistite obsah štvoruholníka .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 13J / 3S

Pre koľko prirodzených čísel , , je číslo druhou mocninou prirodzeného čísla?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 14J / 4S

Majme rovnostranný trojuholník so stranou položený na podlahe. Jeden z jeho bodov zafarbíme na červeno. Trojuholník kotúľame po podlahe a trikrát ho preklopíme. Akú dlhú dráhu prejde červený bod?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 15J / 5S

Aké je najmenšie kladné číslo zložené iba z núl a jednotiek, ktoré je deliteľné ?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 16J / 6S

Bill je dosť starý na to, aby volil, ale nie dosť na to, aby mohol využívať dôchodcovskú zľavu (jeho vek je medzi 18 a 70). Je o ňom známe, že pred rokmi bol jeho vek odmocninou z jeho veku o rokov. Billov vek je druhou mocninou prirodzeného čísla. Nájdite prirodzené číslo .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 17J / 7S

Priložme ľavý dolný roh obdĺžnikového papiera k pravému hornému rohu. Vznikne tak útvar rozdelený na tri trojuholníky, ktorých strany tvoria okraje papiera, a čiara zohnutia. Pre aký pomer dĺžok strán papiera je pomer obsahov týchto troch trojuholníkov ?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 18J / 8S

Koľko je trojciferných čísel deliteľných šiestimi, v ktorých je každá cifra väčšia ako ?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 19J / 9S

Dané sú tri kružnice s polomerom , pričom každé dve z nich sa navzájom zvonka dotýkajú. Týmto kružniciam opíšeme kružnicu tak, aby sa jej zvnútra dotýkali všetky 3 kružnice. Vypočítajte polomer kružnice .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 20J / 10S

Nech je prirodzené číslo. Ak má cifru na mieste desiatok , akú cifru môže mať na mieste jednotiek?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 21J / 11S

Ak napíšeme čísla v nejakom poradí, získame tak -reťazec. Napríklad, jeden z možných -reťazcov dĺžky 11 je:

Aké je najmenšie také, že existuje -reťazec, ktorý je palindrómom (číta sa odpredu rovnako ako odzadu)?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 22J / 12S

Nájdite všetky trojice kladných reálnych čísel a , pre ktoré platí , a .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 23J / 13S

Majme kruh s polomerom a v ňom dve kolmé tetivy, ktoré delia kruh na časti. Ofarbíme časť s najväčším a časť s najmenším obsahom čiernou, zvyšné necháme biele. Vieme, že obsah bielych častí bude taký ako obsah čiernych častí. Aká je maximálna možná vzdialenosť dlhšej tetivy od stredu kružnice?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 24J / 14S

Strážnik má za úlohu strážiť tri objekty. Má obchôdzkové trasy ako na obrázku. Jedna obchôdzka začína v bode , prejde cez každý úsek práve raz a vráti sa na začiatok. Ak záleží na smere obchádzania budovy, tak koľko rôznych obchôdzok existuje?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 25J / 15S

Lichobežník má strany dĺžky , , a v tomto poradí, pričom rovnobežné sú strany dlhé a . Aký má obsah?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 26J / 16S

V rade za sebou stojí ľudí a chcú sa zoradiť podľa výšky tak, aby vpredu stál najvyšší. V jednom ťahu si môžu vymeniť miesto dvaja za sebou. Koľko najmenej ťahov potrebujú na to, aby sa týmto spôsobom zoradili, keď stoja na začiatku ľubovoľne?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 27J / 17S

Petržlen žije v zeleninovom štáte, kde sa platí iba mincami v hodnote alebo . Ak by mal Petržlen z oboch druhov mincí ľubovoľný počet, aká je najvyššia cena, ktorú nimi nevie zaplatiť?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 28J / 18S

Rozdelíme kruh s polomerom ľubovoľným spôsobom na štyri súvislé časti. Aký najmenší obvod môže mať časť s najväčším obsahom? Ak má viacero častí najväčší obsah, tak berieme tú s najmenším obvodom.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 29J / 19S

Nájdite súčet všetkých reálnych čísel , pre ktoré majú rovnice a aspoň jeden spoločný reálny koreň.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 30J / 20S

Koľko je takých osemciferných prirodzených čísel, že po škrtnutí ich prvej cifry zostane číslo -krát menšie ako pôvodné?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 31J / 21S

Máme pravouhlý trojuholník, ktorého všetky strany majú celočíselnú dĺžku. Ak má jedna z jeho strán dĺžku , aký môže mať najväčší obsah?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 32J / 22S

Nech je trojuholník so stredom kružnice opísanej a priesečníkom výšok , pričom body , , , a majú celočíselné súradnice a žiadne dva nesplývajú. Aký je druhý najmenší možný polomer kružnice opísanej trojuholníku ?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 33J / 23S

Nájdite najväčšie prirodzené číslo také, že číslo je deliteľné .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 34J / 24S

Ak počítame súčin cifier daného čísla, potom súčin cifier tohto súčinu, potom znova súčin cifier nového súčinu atď., nutne po nejakom počte krokov dospejeme k jednocifernému číslu. Tento počet krokov nazývame vytrvalosťou čísla. Napr. číslo má vytrvalosť , lebo (1. krok) a (2. krok). Nájdite najväčšie párne číslo s navzájom rôznymi nenulovými ciframi a vytrvalosťou .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 35J / 25S

Ak strany a konvexného štvoruholníka predĺžime, tak sa pretnú v bode . Označme a postupne stredy a . Nájdite pomer obsahu trojuholníka a obsahu štvoruholníka . Prezradíme vám, že tento pomer je rovnaký pre každý konvexný štvoruholník , ktorého strany a nie sú rovnobežné.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 36J / 26S

Kockaté termity vyvŕtali cez kocku so stranou v každom smere štyri rovné chodbičky ako na obrázku a opustili ju. To, čo z kocky zostalo, chceme ofarbiť antitermitovou farbou. Koľko centimetrov štvorcových musíme ofarbiť?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 37J / 27S

Máme kruh s polomerom a stojíme na najľavejšom bode jeho obvodu. Môžeme sa hýbať len doprava a hore. Akú dĺžku má najdlhšia trasa, ktorú môžeme prejsť, ak nechceme z kruhu vyjsť?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 38J / 28S

Aký je najväčší deliteľ čísla taký, že po vydelení dáva zvyšok ?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 39J / 29S

Máme kocku a v nej nasledovných bodov: vrcholy kocky, stredy hrán, stredy stien a stred kocky. Koľko je priamok, ktoré prechádzajú práve cez tri body?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 40J / 30S

Sútaže trvajúcej dní sa zúčastnilo účastníkov. Každý deň všetci účastníci získali skóre bodov, pričom žiadni dvaja nemali rovnaký počet bodov za daný deň. Na konci súťaže (-ty deň večer po súťaži) mal každý účastník v súčte za všetky dni skóre bodov. Nezávisle od , nájdite súčet všetkých , pre ktoré je to možné.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 41J / 31S

Máme tortu, ktorú chceme rozrezať. Torta má tvar valca a každý rez má tvar roviny. Napríklad dvoma rezmi ju vieme rozrezať na štyri časti a troma rezmi na osem častí. Na koľko najviac častí ju vieme rozrezať piatimi rezmi?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 42J / 32S

Osemramenná hviezda je teleso, ktoré vznikne prilepením pravidelných štvorstenov na všetky steny pravidelného osemstena. Hrany osemstena aj všetkých štvorstenov majú dĺžku . Aký objem má osemramenná hviezda?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 43J / 33S

Stopár ide po ceste. Šanca, že v najbližších minútach stretne auto je . Ak je v každom okamihu rovnaká šanca, že stretne auto, tak aká je šanca, že stretne auto v najbližších piatich minútach?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 44J / 34S

Vandal a moderátor upravujú článok na Wikipédii. Na začiatku bol článok bez chyby a každý deň vandal pridal jeden chybný údaj. Na konci každého dňa má moderátor šancu na nájdenie každej jednotlivej chyby, ktorá ešte v článku je. Aká je šanca, že po troch dňoch bude článok bezchybný?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 45J / 35S

Máme k dispozícii neobmedzenú zásobu červených, modrých a žltých kariet. Za každú kartu sa dostávajú body, a to nasledovne:

Koľko najviac bodov dokážeme získať pomocou pätnástich kariet?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 46J / 36S

Matúš má jednu -stennú hraciu kocku a CDčko má tri -stenné hracie kocky. Aká je šanca, že po hodení kockami bude hodnota na Matúšovej kocke väčšia, ako súčet hodnôt na CDčkových kockách?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 47J / 37S

Majme tabuľku . Riadky, resp. stĺpce očíslujeme postupne zľava doprava resp. zhora, dole číslami od po . Do každého políčka vpíšeme súčin čísla riadku a čísla stĺpca, v ktorom sa nachádza. Stanka stojí na políčku v ľavom hornom rohu a chce sa dostať na políčko v pravom dolnom rohu. Stanka môže chodiť iba doprava a dole (šikmo nie). Stankine číslo je súčinom čísel na políčkach, na ktoré Stanka stúpila (vrátane prvého a posledného). Ak uvažujeme všetky možné Stankine čísla, aký je ich najväčší spoločný deliteľ?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 48J / 38S

Majme trojuholník s výškami dlhými , a . Aký je jeho obvod?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 49J / 39S

Nájdite najväčšie prirodzené číslo , pre ktoré je výraz racionálny.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 50J / 40S

Majme Maxištvorec tvorený deviatimi štvorcovými kachličkami. Každá kachlička je rozdelená na štyri rovnaké štvorčeky, v ktorých sú vpísané čísla , , a (každé práve raz). Dve kachličky sa môžu dotýkať len rovnakými číslami (ako dominá). Koľko rôznych Maxištvorcov existuje?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 51J / 41S

Ondro svoje obľúbené číslo (zapísané v desiatkovej sústave a bez nuly na začiatku) nazýva balónik. Pre balónik platí:

Určite hodnotu Ondrovho balónika.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 52J / 42S

Štvorciferné číslo je také, že posledné cifry z je číslo samo. Nájdite .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 53J / 43S

Zistite súčet všetkých päťciferných palindrómov. Palindróm je číslo, ktoré vyzerá rovnako spredu aj zozadu. Napr. 12321 je palindróm.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 54J / 44S

Majme štyri nepárne prirodzené čísla , , a , ktoré spĺňajú . Koľkými rôznymi spôsobmi môžeme tieto čísla vybrať?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 55J / 45S

Nájdite jediné jedenásťciferné prirodzené číslo začínajúce jednotkou také, že keď ho napíšeme dvakrát za sebou, tak dostaneme druhú mocninu nejakého prirodzeného čísla.

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 56J / 46S

Dva rôzne trojuholníky so stranami dĺžok , a majú spoločnú vpísanú aj opísanú kružnicu. Aký obsah má ich spoločná plocha?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 57J / 47S

Majme mriežku . Každý štvorček chceme zafarbiť bielou alebo čiernou farbou, aby platilo, že v každom riadku aj stĺpci sú práve dva čierne štvorčeky. Koľkými spôsobmi to vieme urobiť?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 58J / 48S

Body a sú vo vnútri štvorca so stranou 1. Diaľkou vrchola štvorca označme jeho vzdialenosť k bližšiemu z bodov a . Aký je najmenší možný súčet diaľok vrcholov štvorca?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 59J / 49S

Parkovisko pozostáva z parkovacích miest pravidelne rozložených v jednom rade označených číslami . Postupne tam po jednom zaparkuje áut, pričom postupujú nasledovne:

Aká je pravdepodobnosť, že posledné auto zaparkuje na mieste s číslom ?

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение

Úloha 60J / 50S

Nájdite všetky reálne čísla spĺňajúce .

Показать / скрыть ответ
Показать / скрыть решение