Competition problems 2013
We are extremely sorry to inform you that the Náboj competition will not take place this Friday 13th March 2020 due to the COVID-19 outbreak. Local governments in the participating countries are likely to impose further restrictive measures in more and more areas within today and tomorrow. The international team has, therefore, made the decision to postpone the competition indefinitely.

The new date of the competition is likely to be in the autumn (i.e. next academic year), we will let you know once it is selected. If you have any questions, please contact us via the email address info-gb@math.naboj.org.

Problem 1

Je známe, že číslo 2013 sa dá práve jedným spôsobom zapísať ako súčet dvoch prvočísel. Čomu je rovný ich súčin?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 2

Dve kružnice s polomerom 1 sa pretínajú tak, že obsah prostrednej časti je rovný súčtu obsahov krajných dvoch. Čomu je rovný obsah prostrednej časti?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 3

Máme päť žltých kolíkov, štyri červené, tri zelené, dva modré a jeden oranžový. Koľkými spôsobmi ich môžeme rozmiestniť do trojuholníkovej siete (pozri obrázok) tak, aby v žiadnom riadku ani stĺpci neboli dva kolíky rovnakej farby? Rovnako farebné kolíky považujeme za nerozlíšiteľné.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 4

Nájdite najmenšie prirodzené číslo, ktorého súčin cifier je rovný 600.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 5

Kladné reálne čísla , spĺňajú

Čomu je rovná hodnota výrazu ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 6

Lukáš objavil šesťciferné prirodzené číslo spĺňajúce nasledujúce podmienky:

  1. Číslo sa číta rovnako zľava doprava i sprava doľava.
  2. Je deliteľné deviatimi.
  3. Po škrtnutí prvej a poslednej cifry je jediným prvočíselným deliteľom nového čísla číslo 11.
Ktoré číslo Lukáš objavil?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 7

Na priemere polkružnice je daný bod . Kolmica k  vedená bodom pretne polkružnicu v bode . Ak sú dĺžky oblúkov a polkružnice v pomere , určte hodnotu pomeru .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 8

Dvaja rozmaznaní bratia Viktor a Mišo dostali balíček cukríkov, ktorý si pol na pol rozdelili. Každý z nich zje počas dňa dva až tri cukríky. Malému Viktorovi cukríky vydržali štrnásť dní, staršiemu Mišovi presne tri týždne. Koľko cukríkov bolo pôvodne v balíčku?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 9

Koľkými spôsobmi môžeme v schéme na obrázku prečítať slovo Náboj?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 10

Na ostrove žijú obyvatelia dvoch typov: pravdovravní vždy hovoria pravdu, klamári zásadne klamú. Dvanásť obyvateľov ostrova sa posadilo do kruhu. Všetci svorne tvrdia, že sú pravdovravní. Tiež tvrdia, že po ich pravej ruke sedí klamár. Koľko najviac klamárov môže byť medzi týmito dvanástimi ľuďmi?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 11

Lukáš má jedenásť zhodných štvorcových dlaždičiek — šesť červených, tri modré a dve zelené. Koľkými spôsobmi môže z niektorých deviatich z nich zostaviť tabuľku , ak musí ofarbenie tabuľky ostať zachované, ak ju otočíme o  po smere hodinových ručičiek? Dlaždičky rovnakej farby považujeme za nerozlíšiteľné.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 12

Na ostrove sú ženaté dve pätiny mužov a vydaté tri pätiny žien. Koľko percent obyvateľstva ostrova žije v manželstve?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 13

Aká je dĺžka strany najväčšieho rovnostranného trojuholníka, ktorý možno vystrihnúť z obdĺžnikového papiera o rozmeroch ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 14

Dáška si vzala štvorcový kus papiera a zložila ho štyrikrát na polovicu bez spätného rozkladania tak, že každým zložením vytvorila rovnoramenný pravouhlý trojuholník. Koľko štvorcov je vidieť po rozložení papiera?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 15

Koľko päťuholníkov sa nachádza na obrázku?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 16

Pri sčítaní dvoch prirodzených čísel Pepa omylom za jedno z nich pripísal nulu, a tak mu vyšlo namiesto . Čomu je rovné väčšie z čísel, ktoré mal Pepa sčítať?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 17

Aký polomer má najmenší kruh, ktorým možno zakryť trojuholník so stranami dĺžok a .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 18

Lukáš, Mirek, Pepa a Viktor majú dokopy lízaniek. Pritom každý dvaja z nich majú dokopy lízaniek aspoň . Koľko najmenej lízaniek môže mať Pepa?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 19

Viktor si nakreslil obdĺžnik s obsahom a dĺžkou uhlopriečky . Čomu je rovný sínus ostrého uhla, ktorý zvierajú uhlopriečky obdĺžnika?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 20

Akú najväčšiu hodnotu môže mať výraz , ak , , , sú navzájom rôzne čísla z množiny ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 21

Do roviny s kartézskou súradnicovou sústavou sme náhodne umiestnili uhol o veľkosti . Aká je pravdepodobnosť, že ramená tohto uhla tvoria graf funkcie?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 22

Pepa si v deň konania minuloročného náboja (23. marca 2012) nakreslil pravidelný stouholník (číslovaný v smere hodinových ručičiek) a na jeden náhodný vrchol položil žetón. Každé ďalšie ráno potom posunul žetón o toľko vrcholov po smere hodinových ručičiek, aké bolo číslo vrcholu na ktorom práve žetón ležal (napríklad z vrcholu by sa tento žetón presunul na , z vrcholu na ). Teraz leží žetón na vrchole . Ak?? bola pravdepodobnosť, že sa niečo také stane?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 23

Prirodzeným číslam, ktoré sa dajú napísať ako rozdiel druhých mocnín dvoch celých čísel, hovorme rozdielové. Koľko z čísel je rozdielových?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 24

Tri pravidelné neprekrývajúce sa mnohouholníky o stranách dĺžky sa stretávajú v bode tak, že tvoria (nekonvexný) mnohouholník , pre ktorý je bod vnútorným bodom. Ak je jeden z mnohouholníkov šesťuholník a druhý štvorec, určte obvod mnohouholníka .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 25

Viktor napísal na papier čísla v náhodnom poradí. Aká je pravdepodobnosť, že pre každé je to -te menšie ako to -te?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 26

Ružová farba vznikne zmiešaním červenej a bielej v pomere , azúrová vznikne z modrej a bielej v pomere . Stanka si chce vymaľovať izbu farbou, ktorá vznikne z ružovej a azúrovej zmiešanej v pomere . Zatiaľ zmiešala tri plechovky modrej a jednu plechovku červenej farby. Ostávajú jej už len plechovky s červenou a bielou farbou. Koľko celkom plechoviek ešte musí pridať?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 27

V klobúku je niekoľko bielych, sivých a čiernych králikov. Je známe, že keď kúzelník začne králiky postupne náhodne vyťahovať (bez toho, aby ich vracal späť), je pravdepodobnosť, že vytiahne skôr bieleho králika ako sivého, rovná . Podobne je pravdepodobnosť, že vytiahne skôr sivého králika ako čierneho, rovná . Aká je pravdepodobnosť, že vytiahne skôr bieleho králika ako čierneho?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 28

Pre prirodzené čísla , platí . Určte hodnotu súčtu .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 29

V rohoch štvorca o strane dĺžky sú umiestnené štyri menšie štvorce o stranách dĺžky . Označme ich vrcholy , , , ako na obrázku. Štvorec je zostrojený tak, že body , , , ležia vo vnútri jeho strán , , , . Určte najväčšiu možnú vzdialenosť bodov a .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 30

V dvadsiatich krabiciach je spolu jabĺk. Pritom v niekoľkých krabiciach je presne po štyroch jablkách a v ostatných po jablkách. Nájdite všetky možné hodnoty .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 31

Kladné reálne čísla , spĺňajú a súčasne

Čomu sa rovná hodnota výrazu ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 32

Koľkými spôsobmi možno do rôznych políčok heptomina na obrázku vyplniť čísla 1 až 7 (každé musíme použiť práve raz), aby bol súčet čísel v spodnom riadku rovnaký ako súčet čísel v ľavom stĺpci?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 33

Dĺžky strán ostrouhlého trojuholníka spĺňajú , , . Označme pätu výšky z vrcholu . Určte .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 34

Električky majú celý deň v obidvoch smeroch trasy rovnaké intervaly. Chodec, ktorý šiel pozdĺž dráhy električky, pozoroval, že ho každých 12 minút jedna električka predbehne a zároveň každé 4 minúty ho minie električka v protismere. Aký interval majú električky?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 35

Koľko nedegenerovaných trojuholníkov môže byť vytvorených spojením niektorých troch bodov na obrázku?

Poznámka: Body sú zarovnané do naznačenej mriežky.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 36

Mirek dostal bonboniéru s tridsiatimi bonbónmi usporiadanými v troch riadkoch po desať. Aby si ju náležite vychutnal, je bonbóny po jednom, a to tak, aby sa počty ostávajúcich bonbónov v každých dvoch riadkoch v každom okamihu líšili najviac o jedna. Koľkými spôsobmi môže bonboniéru zjesť?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 37

Povieme, že šesťciferné prirodzené číslo je dvojité, pokiaľ sa jeho prvé tri cifry (v tomto poradí) zhodujú s jeho ďalšími tromi ciframi (teda napríklad číslo je dvojité, zatiaľ čo číslo dvojité nie je). Koľko dvojitých čísel je bezo zvyšku deliteľných číslom ?

Poznámka: Prirodzené číslo nemôže začínať nulou.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 38

Na každé políčko hracieho plánu náhodne nakreslíme šípku doprava alebo dole a na ľavé horné políčko postavíme robota. Robot sa vždy posúva na susedné políčko v smere šípky. Aká je pravdepodobnosť, že robot opustí hrací plán krokom z pravého dolného políčka?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 39

Vyjadrite

v základnom tvare (tj. ako zlomok , kde , sú nesúdeliteľné prirodzené čísla).

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 40

Je daný obdĺžnik s dĺžkami strán , . Pre koľko bodov na jeho strane platí, že trojuholník má celočíselný obvod?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 41

V akom poradí je potrebné usporiadať riadky vyobrazenej tabuľky, aby vznikla tabuľka symetrická podľa vyznačenej uhlopriečky? Stačí nájsť jedno riešenie.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 42

Pre každé prirodzené číslo položme

Nájdite najmenšie prirodzené číslo také, že .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 43

Kaťa pripravila pizzu, rozkrájala ju na rovnakých dielikov a potom na ne pripichla lístky s číslami (každé číslo použila práve raz) tak, že medzi dielikmi so za sebou idúcimi číslami bol vždy rovnaký počet iných dielikov. Potom prišiel Lukáš a skoro celú pizzu zjedol — ostali len tri susedné dieliky s číslami 11, 4 a 17 (v tomto poradí). Koľko dielikov mala pizza pôvodne?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 44

V jednej posluchárni na Matfyze sú miesta na sedenie usporiadané do obdĺžnikovej mriežky. Počas jednej prednášky z analýzy sedelo v každom rade presne 11 chlapcov, v každom stĺpci sedeli presne 3 dievčatá a ešte celkovo dve miesta zostali voľné. Koľko najmenej miest môže byť v posluchárni?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 45

Kružnica s polomerom 3 a kružnica s polomerom 4 majú vnútorný dotyk v bode . Aký najväčší obsah môže mať trojuholník , ktorého vrcholy , ležia po rade na kružniciach , ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 46

Lukáš a Viktor hrajú hru. Na začiatku majú množinu a striedajú sa v ťahoch. Najskôr Lukáš odoberie ľubovoľných jej prvkov, potom odoberie Viktor ľubovoľných prvkov, potom Lukáš prvkov a tak ďalej až nakoniec odoberie Viktor jeden prvok, takže v množine presne dve čísla ostanú. Tým hra končí a Lukáš zaplatí Viktorovi absolútnu hodnotu rozdielu týchto čísel v eurách. Koľko eur Viktor vyhrá, pokiaľ obidvaja hráči hrajú najlep??ie ako môžu?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 47

Na Matfyze vyhodili z analýzy niekoľko študentov. Všetci títo študenti prestúpili na VŠN (vysokú školu nemenovanú). To malo nasledujúce dôsledky:

  1. Počet študentov na Matfyze sa znížil o šestinu.
  2. Počet študentov na VŠN sa zvýšil o tretinu.
  3. Na obidvoch školách vzrástlo priemerné IQ o 2%.
Koľkokrát je teraz priemerné IQ na Matfyze vyššie ako na VŠN?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 48

Do kružnice s polomerom 1 je vpísaný pravidelný štrnásťuholník . Aká je plocha tej časti kruhu ohraničeného kružnicou , ktorá leží vo vnútri ostrého uhla ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 49

Olin s Martinou uvideli 24-prvkovú množinu . Olin si vypísal všetky jej dvanásťprvkové podmnožiny, ktoré majú párny súčet prvkov, zato Martina si vypísala všetky dvanásťprvkové podmnožiny s nepárnym súčtom prvkov. Kto si vypísal viac množín a o koľko?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 50

Viktor si myslí tri navzájom rôzne prirodzené čísla , , také, že súčet niektorých dvoch z nich je 800. Keď si na papier napísal čísla , , , , , a , zistil, že to sú všetko prvočísla. Určte rozdiel najväčšieho a najmenšieho čísla na Viktorovom papieri.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 51

Alča na dve náhodné miesta metrovej tyčky nakreslila bodky. Potom prišiel Pepa a tyčku náhodne rozlámal na častí. Aká je pravdepodobnosť, že obe bodky sú teraz na tej istej časti?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 52

Koľko desaťciferných prirodzených čísel obsahujúcich každú z cifier práve raz je násobkom čísla ?

Poznámka: Prirodzené číslo nemôže začínať nulou.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 53

Polynóm stupňa s reálnymi koeficientmi spĺňa pre vzťah . Určte .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 54

Vo vnútri rovnoramenného trojuholníka spĺňajúceho a je daný bod tak, že a . Určte .

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 55

Nájdite najväčšie prirodzené číslo nekončiace nulou také, že škrtnutím niektorej jeho „vnútornej“ cifry získame jeho deliteľa.

Poznámka: „Vnútornou“ cifrou rozumieme každú cifru okrem prvej a poslednej.

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 56

Pre navzájom rôzne reálne čísla , , platí

Čomu je rovný súčin ?

Show / hide answer
Show / hide solution

Problem 57

V rôznostrannom trojuholníku má jedna výška rovnakú dĺžku ako jedna ťažnica a iná výška má rovnakú dĺžku ako iná ťažnica. V akom pomere sú dĺžka tretej výšky a dĺžka tretej ťažnice?

Show / hide answer
Show / hide solution