Enunțuri probleme

Răspuns:

$14325$

Suma $16$ se obține ca $9+7$. Cum $R=9$ conduce la contradicția $J=N=3$, obținem $S=9$ și $R=7$. Treptat, se obțin valorilor: $J=5$, $N=1$, $Q=6$, $B=3$, $P=8$, $A=4$ și $O=2$. Obținem $\mathit{NABOJ}=14325$.

Răspuns:

$14$

Roata $A$ are 14 dinți, roata $B$ are 6, și roata $C$ are 15. Mai întâi să determinăm cel mai mic număr de dinți pentru care toate roțile se învârt până se întorc în pozițiile inițiale, care este multiplu de 14, 6 și 15, adică 210. Roata $C$ trebuie rotită de $210∕15=14$ ori.

Răspuns:

$9897989698$

Începem cu prima cifră egală cu 9 și construim numărul spre dreapta. Următoarea cifră nu poate fi 9, deci alegem 8. Apoi putem adăuga 9. Următoarea cifră nu poate fi 9 sau 8, deci vom adăuga 7. Apoi punem iar 9 și nu vom putea adăuga cifrele $\{9,8,7\}$, deci rămâne să adăugăm 6. Obținem numărul $n=9897989698$. Acesta este numărul cerut.

Răspuns:

$6$

Aria pătratului trebuie să fie multiplu de 3, și este simplu de observat că un pătrat $3\times 3$ nu poate fi acoperit. Un aranjament pentru un pătrat $6\times 6$ este prezentat în figură.

Răspuns:

$36$

Obținem $\mathit{XB}+\mathit{CS}=2\cdot \mathit{CS}=\mathit{CD}=12$, deci perimetrul cerut este $12+12+6+6=36$.

Răspuns:

$93$

Observăm că $1\cdot 7=7$ și $3\cdot 9=27$. Produsul $17\cdot 71$ nu are ca rezultat un număr de patru cifre. $39\cdot 93=3627$, deci răspunsul este $93$.

Răspuns:

$37$

Dacă Kurt deține toate combinațiile de trei culori și 12 numere (în total $3\cdot 12=36$ cărți), atunci este posibil ca în grămada de joc cartea de deasupra să fie din a patra culoare și din numărul lipsă. De aceea, numărul $N$ este cel puțin egal cu $37$.

Răspuns:

$15$

Cum triunghiul $\mathit{FGS}$ este echilateral, obținem $\mathit{FS}=\mathit{GS}$. De aceea, triunghiurile dreptunghice $\mathit{GAS}$ și $\mathit{EFS}$ sunt congruente, deci $\mathit{ES}=\mathit{AS}$. Atunci triunghiul $\mathit{EAS}$ este isoscel. Folosind $\mathit{\angle ESA}=45^{\circ }+60^{\circ }+45^{\circ }=150^{\circ }$, obținem $\mathit{\angle SAE}=\frac{1}{2}(180^{\circ }-\mathit{\angle ESA})=15^{\circ }$.

Răspuns:

$34$

Scriem în fiecare triunghi câte triunghiuri se pot forma cu acesta și care îl conțin ca vârf sau colț ( depinde de orientarea sa ).

Suma numerelor este numărul de triunghiuri.

Răspuns:

$6075$

Fie $N=\overline{\mathit{abcd}}$ un număr interesant și fie $n=\overline{\mathit{cd}}$. Atunci $N=1000a+100b+n$ și când înlăturăm cifra sutelor, obținem numărul $M=100a+n$. Înmulțindu-l cu $9$, avem

de unde

Din această egalitate afirmăm că $a+b$ este număr par mai mic ca $\frac{2\cdot 100}{25}=8$, deoarece $n<100$. Acest lucru implică că $a+b$ este cel mult $6$ și pentru a maximiza numărul $N$, alegem $a=6$ și $b=0$, obținând $n=75$. Se verifică simplu că numărul $N=6075$ satisface condiția cerută.

Răspuns:

$60$

Cum vaporul a transporta $85$ tone în primul voiaj, a trebuit să transporte cel puțin $15$ tone de ulei. Dar cum, la întoarcere numărul de tone de ulei s-a dublat, vaporul putea transporta cel mult $15$ tone de ulei. Din aceste motiv, vaporul putea să transporte în primul voiaj cantitatea maximă de etanol și mercur. La întoarcere vaporul a transportat

tone de marfă.

Răspuns:

$8$

Să începem să acoperim forma dintr-unul dintre colțurile interioare ca în diagrama (1); Există două moduri de a plasa un domino, dar acestea conduc în mod clar la situații complet simetrice. Prin urmare, putem selecta una dintre ele și înmulțim rezultatul cu $2$. Odată ce acest domino este fixat, se stabilește o plasare a încă două plăci (2). Cele două „pătrate” din stânga și din dreapta pot fi acoperite fiecare în două moduri (3), iar restul formei poate fi apoi acoperit în mod unic (4). Prin urmare, există $2\cdot 2=4$ moduri de a continua cu această plasare în (1). Luând în considerare opțiunea simetrică, obținem $2\cdot 4=8$ moduri în total.

Răspuns:

$30$

Aria fiecărui pătrat gri închis este $216∕6=36$, deci lungimea laturii sale este $\sqrt{36}=6$. Pe fiecare față, partea neacoperită are de două ori dimensiunea părții gri deschis, ceea ce înseamnă că fiecare dreptunghi gri deschis are jumătate din dimensiunea unui pătrat alb. Obținem lungimea unui dreptunghi gri deschis egală cu $12$, deci lungimea laturii cubului egală cu $12+6+12=30$.

Răspuns:

$800\%$

Fie $n$ prețul unui caiet, $r$ prețul unei rigle și $p$ prețul unui creion. Avem ecuațiile $n=r+p$ și $\frac{3}{2}r=p+n=2p+r$. Obținem $r=4p$ și $n=5p$. Prețul unui creion ar trebui să crească cu $800\%$.

Răspuns:

$4098600$

Observăm că $\gcd (x,x-1)=1$ pentru orice număr natural $x$, deci $\gcd (x,\gcd (x-1,a))=1$ pentru orice numere naturale $a$ și $x$. De aceea, expresia este egală cu

Răspuns:

$12$

Triunghiurile dreptunghice formate din regiunile dintre linia oblică și dreptunghiuri sunt asemenea, cu un raport de asemănare de 2. În consecință, lățimea dreptunghiului gri este $2\cdot 6=12$, măsurată în diametre de cerc.

Răspuns:

$7.2=\frac{36}{5}$

Fie $v$ ritmul inițial al lui Tyler (în km/h) și $t$ timpul în care a alergat în ritm rapid (în ore); atunci ritmul lui lent este $\frac{3}{4}v$ iar timpul petrecut în acest ritm este $2t$. Distanța totală este suma celor două distanțe parțiale, deci

prin urmare

care este distanța parcursă în ritm rapid.

Răspuns:

$10$

Observați că Laura este total absentă în constrângeri, deci poate fi plasată oriunde. Pe de altă parte, există doar două moduri de a le aranja pe celelalte patru doamne, așa că, în total, sunt 10 opțiuni.

Răspuns:

$220$

Căutăm cel mai mare număr $S$ astfel încât să fie posibilă împărțirea lungimilor zidurilor în două submulțimi, în care suma lungimilor să fie mai mare sau agală cu $S$. De aceea

și cum $S$ trebuie să fie multiplu de $10$, obținem $S\le 220$. Această valoare se poate obține împărțind lungimile zidurilor astfel $130+90<110+50+70$.

Răspuns:

$247$

Diferența este cea mai mică atunci când numerele sunt cât mai apropiate unele de altele. În acest scop, cifra miilor poate diferi doar cu 1. Cifra sutelor trebuie să fie cât mai mică posibil pentru numărul mai mare și cât mai mare posibil pentru numărul mai mic. Odată ce cifra sutelor este fixată, același lucru se aplică și cifrei zecilor și apoi în cele din urmă cifrei unităților. Aceasta duce la numerele 5123 și 4876, a căror diferență este 247.

Răspuns:

$62$

Dacă renunțăm la condiția ca două paturi învecinate să fie plantate cu același tip de flori, atunci răspunsul este $2^6=64$. Din acest rezultat, scădem opțiunile în care condiția este încălcată, ceea ce este cazul când cele două tipuri de flori alternează. Cum sunt doar două opțiuni, obținem un total de aranjamente valabile de 64 $-2=62$.

Răspuns:

$25\pi -12$

Fie $M$ centrul foii circulare și fie $A$, $B$, $C$ vârfurile rămase ale dreptunghiului. Notăm raza cercului cu $r$.

Avem $\mathit{MA}=r-1$, $\mathit{MB}=r$ și $\mathit{MC}=r-2$, cu $\mathit{AB}=\mathit{MC}$. Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $\mathit{ABM}$ obținem ecuația

care poate fi simplificată la

Deoarece $r=1$ duce la o configurație nevalidă, singura soluție validă este $r=5$. Zona rămasă este $r^2\pi -3\cdot 4=25\pi -12$ (în ${\mathrm{dm}}^2$).

Răspuns:

$23\frac{1}{3}=\frac{70}{3}$

Dacă amestecăm $x$ unități ale primei substanțe și $y$ unități din cea din urmă, amestecul rezultat conține $\frac{4}{5}x+\frac{3}{10}y$ Algebră și $\frac{1}{5}x+\frac{7}{10}y$ Alchimie. Pentru a obține raportul $1:1$, trebuie să avem

care duce la $y=\frac{3}{2}x$. Cu alte cuvinte, pentru fiecare $\mathrm{mg}$ de Algebră, trebuie folosit în amestec $1.5\mathrm{mg}$ de Alchimie . Prin urmare, cantitatea maximă de Algemie va fi produsă atunci când Náboicus folosește toate cele $14\mathrm{mg}$ din Alchimie și $\frac{2}{3}\cdot 14\mathrm{mg}$ din Algebră, producând $\frac{5}{3}\cdot 14=\frac{70}{3}\mathrm{mg}$.

Răspuns:

$34$

Fie $m^2=M=K+3333$. Cum $M$ și $K$ sunt pătrate perfecte de $4$ cifre, obținem$32\le n<m\le 99$ și de aceea

sau

Avem

Având în vedere constrângerile de mai sus, singurii factori posibili sunt $m+n=101$ și $m-n=33$, rezultând soluția $m=67$ și $n=34$. $K=34^2=1156$ are într-adevăr toate cifrele sale mai mici de $7$.

Răspuns:

$\frac{2\pi \sqrt{3}}{3}=\frac{2\pi }{\sqrt{3}}$

Deoarece $X$, $Y$ sunt centrele bazelor cilindrului, înălțimea cilindrului este egală cu distanța lor. Deoarece $X$ și $Y$ sunt vârfuri opuse ale cubului, ele se află pe o diagonală de lungime $\sqrt{3}$. Pentru a determina raza cilindrului, alegem orice alt vârf $Z$ al cubului și calculăm distanța acestuia față de diagonala $\mathit{XY}$. Triunghiul $\mathit{XZY}$ este dreptunghic în $Z$ ($\mathit{XZ}$ este o diagonală a feței și $YZ$ este o muchie a cubului), iar raza căutată este distanța de la $Z$ la $\mathit{XY}$. Prin asemănare (sau comparații de arii), această distanță este $\sqrt{2∕3}$. Prin urmare, volumul cilindrului este

Răspuns:

$13$

A doua afirmație nu poate fi adevărată: dacă ar exista cel puțin $31$ mincinoși, toți ar răspunde negativ la întrebare, făcând imposibilă obținerea celor $39$ de răspunsuri pozitive. Prin urmare, există cel mult $30$ mincinoși. Deoarece cei care spun adevărul spun întotdeauna adevărul, trebuie să fi răspuns negativ la această întrebare, ceea ce înseamnă că pot exista cel mult $60-39=21$ adevărați.

Acest lucru implică, de asemenea, că prima afirmație este falsă. Cele $43$ de răspunsuri pozitive trebuie să fi venit de la toți mincinoșii plus niște oameni normali. Deoarece există cel mult $30$ mincinoși, trebuie să existe cel puțin $43-30=13$ oameni normali.

Această configurație este fezabilă, deoarece distribuția $17$ adevărați, $30$ mincinoși și $13$ oameni normali îndeplinește ambele condiții. Astfel, numărul minim de oameni normali din sat este de $13$.

Răspuns:

$24$

În primul rând, observăm că numărul total de puncte acordate este de 7, ceea ce înseamnă că din cele 6 meciuri, exact unul a avut ca rezultat ca echipa câștigătoare să obțină două puncte, în timp ce restul au avut ca rezultat ca învingătorii să câștige doar un punct fiecare. Aceasta înseamnă că cea mai bună echipă a învins toate celelalte echipe, exact una dintre acele victorii fiind la o marjă mai mare. Meciurile dintre cele trei echipe care nu sunt de top trebuie să fi rezultat într-un “ciclu”, deoarece fiecare dintre aceste echipe a primit doar un punct și există exact două moduri de a orienta acest ciclu. În total, există $4\cdot 3\cdot 2=24$ în care s-ar fi putut desfășura turneul.

Răspuns:

$225$

În mod clar, cea mai mică valoare posibilă a lui $M$ este 9, deoarece

Dacă $k\ge 1$, atunci fiecare substituție $10^k=10\cdot 10^{k-1}$ crește numărul de sumanzi cu 9. Aceasta implică faptul că $M$ trebuie să fie un multiplu de 9; în plus, valorile posibile ale $M$ formează un set consecutiv de multipli ai lui 9. Cea mai mare valoare posibilă a lui $M$ este 2025, deoarece

Astfel, numărul de valori posibile pentru $M$ este

Răspuns:

$360$

Notăm cu $S$ punctul de plecare al lui Max și Paul. Fie $t_1$ timpul scurs din momentul în care partea din față a trenului trece de Max și Paul până când partea din spate a trenului trece de Max. În mod similar, fie $t_2$ timpul scurs din momentul în care partea din spate a trenului trece pe lângă Max până când acesta trece pe lângă Paul. Deoarece Max și Paul merg cu aceeași viteză și în timpul $t_1$, Max a reușit să parcurgă $45$ metri în timp ce Paul a parcurs $60-45=15$ metri în $t_2$, raportul intervalelor de timp este

Acum, luăm în considerare mișcarea trenului. În timpul $t_1$, trenul avansează cu $\ell -45$ metri, deoarece inițial, fața lui era în punctul de întâlnire, în timp ce la sfârșitul acestui interval, spatele era încă la 45 de metri de acel punct. În timpul $t_2$, partea din spate a trenului acoperă cei $105$ metri dintre Max și Paul. Astfel, viteza trenului este

Lungimea completă a trenului este apoi dată de

Răspuns:

$33.75^{\circ }={\frac{135}{4}}^{\circ }$

Cum triunghiul $X{C}^{\prime }B$ este isoscel, obținem că

Mai mult, din cauza îndoirii $\mathit{\angle CXY}=\mathit{\angle Y}X{C}^{\prime }$ , deci

În concluzie, $\mathit{\angle X}{C}^{\prime }Y=\mathit{\angle Y}\mathit{CX}=90^{\circ }$, de unde

Răspuns:

$911$

Observăm că, pentru $k\le n$, numărul tuturor $k$-uplurilor crescătoare cu elemente din mulțimea $\{1,2,\dots ,n\}$ este egal cu $\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{n}{k}\right)$, deoarece $k$-uplurilor strict crescătoare corespund direct submulților de dimensiune $k$. Mai general, numărul tuturor $k$-uplurilor crescătoare cu elemente din mulțimea $\{m,m+1,\dots ,n\}$ este egal cu $\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{n-m+1}{k}\right)$. Pentru a determina poziția 4-uplului cerut, numărăm numărul de 4-upluri anterioare în creștere, grupându-le pe baza elementelor lor cunoscute:

• $(0,\ast ,\ast ,\ast )$: există $\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{15}{3}\right)=455$ astfel de 4-upluri;
• $(1,\ast ,\ast ,\ast )$: există $\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{14}{3}\right)=364$ astfel de 4-upluri;
• $(2,3,\ast ,\ast )$: există $\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{12}{2}\right)=66$ astfel de 4-upluri;
• $(2,4,a,\ast )$ cu $a\in \{5,6\}$: există $\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{10}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{9}{1}\right)=19$ astfel de 4-upluri;
• $(2,4,7,b)$ cu $b\in \{8,9,10,11,12,13\}$: există 6 astfel de 4-upluri.

Astfel, 4-uplul $(2,4,7,14)$ apare la poziția $455+364+66+19+6+1=911$.

Răspuns:

$60$

Fie $A$ și $B$ numărul de mere aduse la piață de Adam și, respectiv, Bettina. Știm asta

Înlocuind $b=\frac{45}{A}$ și $a=\frac{20}{B}$ în a doua ecuație, obținem

Prin urmare, $A=\frac{3B}{2}$ și înlocuind în prima ecuație obținem $\frac{3B}{2}+B=\frac{5B}{2}=100$, deci $B=40$ și $A=100-40=60$.

Răspuns:

$598$

Fie $a$, $b$ și $c$ cifrele sutelor, zecilor și unităților numărului de trei cifre $N$. Dacă $c=9$, atunci $N>9^3=729$, deci $a$ trebuie să fie $7$ sau $8$. Cu toate acestea, în ambele cazuri, nu există nicio alegere ca $b$ să facă ca ultima cifră a lui $729+a+b^2$ să fie egală cu $9$.

Apoi, luăm în considerare $c=8$. Deoarece $8^3=512$, $a$ trebuie să fie $5$ sau $6$, dar

deci $a$ poate fi doar $5$. Atunci avem nevoie de $b$ satisfăcând

sau

ale căror soluții sunt $b=1$ și $b=9$. Ambele dau numere valide:

(În mod echivalent, se poate observa că cifra unităților lui $b^2$ trebuie să fie $1$.)

Dacă $c\le 7$, atunci

deci cea mai mare valoare validă pentru $N$ este de $598$.

Răspuns:

$42$

Unind $P$ cu toate punctele care împart laturile patrulaterului $\mathit{ABCD}$ în treimi se creează douăsprezece triunghiuri.

Fiecare set de trei triunghiuri de-a lungul aceleiași laturi au ariile egale, deoarece au aceeași înălțime din punctul $P$ și au baze de lungime egală. Fie $a$ aria triunghiului $\mathit{PEI}$, $b$ aria triunghiului $\mathit{PJF}$, $c$ aria triunghiului $\mathit{PGK}$ și $d$ aria triunghiului $\mathit{PLH}$. Din informațiile date, stabilim ecuațiile

Aria patrulaterului $\mathit{PFBG}$ este dată de $b+c$. Aceasta poate fi calculată ca

Răspuns:

$237$

În general, există $\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{12}{4}\right)=495$ modalități de a alege $4$ pătrate dintr-un inel de $12$ pătrate. Pentru fiecare dintre cele patru laturi, există opt pătrate care nu aparțin acelei laturi, oferind $\left(\genfrac{}{}{0.0pt}{}{8}{4}\right)=70$ moduri de a alege patru pătrate, astfel încât această latură să fie lăsată afară. Prin urmare, ar exista 495 $-4\cdot 70=215$ opțiuni, astfel încât nicio parte să nu fie lăsată în afară. Cu toate acestea, unele opțiuni au fost scăzute de două ori - și anume cele în care două părți sunt lăsate afară simultan. Acest lucru este posibil alegând $4$ din $5$ pătrate grupate în jurul unui colț ($5$ moduri pentru un colț, $20$ pentru toate colțurile $4$) sau $4$ din $4$ pătrate opuse din mijloc (în total două direcții). Acest lucru ne oferă $215+22=237$ modalități. Deoarece omiterea a trei sau patru laturi este imposibilă în această situație, acesta este răspunsul final.

Răspuns:

$\frac{6}{5}$

Notăm centrele cercurilor $X$, $Y$, respectiv $Z$ și fie mai departe $A$, $B$, $C$ punctele de tangență ca în diagrama de mai jos. Triunghiul $\mathit{XY}Z$ are lungimile laturilor $1+2=3$, $1+3=4$ și $2+3=5$, care este un triplu de numere care satisface teorema lui Pitagora, deci este un triunghi dreptunghic cu unghi drept în $X$. Pentru a calcula aria căutată a triunghiului $\mathit{ABC}$, vom scădea ariile triunghiurilor isoscele $\mathit{XCB}$, $Y\mathit{AC}$ și $\mathit{ZBA}$ din aria triunghiului $\mathit{XY}Z$, care este $\frac{1}{2}(3\cdot 4)=6$.

• Triunghiul $\mathit{XCB}$ este dreptunghic, prin urmare aria sa este $\frac{1\cdot 1}{2}=\frac{1}{2}$.
• Pentru a calcula aria triunghiului $Y\mathit{AC}$, găsim mai întâi lungimea înălțimii sale $\mathit{AR}$. Deoarece triunghiurile $\mathit{RY}A$ și $\mathit{XY}Z$ sunt similare cu raportul de asemănare $YA∕YZ=\frac{2}{5}$, rezultă că $\mathit{AR}=\frac{2}{5}\mathit{ZX}=\frac{8}{5}$. Prin urmare, aria triunghiului $Y\mathit{AC}$ este $\frac{1}{2}(\frac{8}{5}\cdot 2)=\frac{8}{5}$.
• În mod similar, pentru a obține aria triunghiului $\mathit{ZBA}$, folosim asemănarea $△\mathit{SAZ}\sim △\mathit{XY}Z$ cu raportul $\frac{3}{5}$ pentru a obține $\mathit{AS}=\frac{9}{5}$, deci aria triunghiului $\mathit{ZBA}$ este $\frac{1}{2}(\frac{9}{5}\cdot 3)=\frac{27}{10}$.

În cele din urmă, putem calcula aria dorită ca

Răspuns:

$300$

Este ușor de observat că numărul de diagonale ale unui $n$-gon este $\frac{1}{2}n(n-3)$. Deoarece 2025 este impar, putem analiza când este produsul $P=n(n-3)$ divizibil cu 2025. Deoarece $2025=3^4\cdot 5^2$, datorită coprimalității, trebuie să ne asigurăm că $P$ este divizibil cu $3^4=81$ și $5^2$. Observăm că doar unul dintre factorii $n$, $n-3$ poate fi divizibil cu $5$, deci unul dintre ei trebuie să fie divizibil cu $25$. Pe de altă parte, $n$ este divizibil cu $3$ dacă și numai dacă $n-3$ este divizibil cu $3$, deci ambele contribuie la puterea totală a lui $3$ care îl divide pe $P$; totuși, doar unul dintre $n$, $n-3$ poate fi divizibil cu $3^k$ pentru $k\ge 2$. Aceasta înseamnă că avem nevoie ca unul dintre factori să fie divizibil cu $3^3=27$.

Dacă unul dintre factori ar fi divizibil atât cu $25$ cât și cu $27$, ar fi egal cu cel puțin $25\cdot 27=675$. Să verificăm dacă o valoare mai mică poate fi găsită alegând unul dintre factori (să zicem $m$) să fie divizibil cu $27$ și celălalt ($m\pm 3$) să fie divizibil cu $25$ (în acest fel fie $n=m$, fie $n=m+3$). Prin prima condiție, avem $m=27k$ pentru un număr întreg pozitiv $k$ și suntem interesați de cea mai mică valoare a $k$ astfel încât $27k\pm 3$ să fie divizibil cu 25 (pentru una dintre opțiunile de semn). Deoarece $25k$ este întotdeauna divizibil cu $25$, putem verifica în mod echivalent $2k\pm 3$, care este mai întâi divizibil cu $25$ pentru $k=11$ și semnul pozitiv. Prin urmare $m=27\cdot 11=297$ și $n=m+3=300$.

Răspuns:

$84$

Pentru fiecare nod calculăm (1) numărul de căi (orientate) de la $A$ care se termină la el, (2) numărul de căi către $B$ începând de la acesta. În diagrama de mai jos, de exemplu, $3|1$ în nodul superior indică faptul că există exact trei căi de la nodul de pornire care se termină la acest nod și doar o cale de la acest nod până la nodul final. Pentru fiecare săgeată, numărul de căi care o parcurg în direcția opusă este dat de produsul dintre primul număr la punctul final și al doilea număr la punctul de plecare, așa că calculăm acest produs pentru fiecare săgeată și însumăm. Rezultatul este 84.

Răspuns:

$18249$

Putem rescrie calculul ca

care se reduce la

Rezultă că $N=1$. În acest moment rămânem cu $\overline{\mathit{AAA}}+\overline{\mathit{BB}}+O=2025-1111=914$, ceea ce implică $A=8$. O reducere suplimentară $914-888=26$ are ca rezultat $B=2$ și, în final, $O=4$. Valoarea lui $J$ poate fi arbitrară, dar diferită de cifrele deja utilizate, prin urmare, cea mai mare valoare posibilă a lui $\mathit{NABOJ}$ este $18249$.

Răspuns:

$150$

Notăm cu $YN$ numărul de organizatori care au votat pentru la primul vot și împotrivă la al doilea; definim în mod similar $YY$, $\mathit{NN}$ și $\mathit{NY}$. În cele din urmă, fie $YX$ numărul organizatorilor care părăsesc. Atunci avem următorul sistem de ecuații:

Substituind $YY=120$ și $\mathit{NN}=70$, obținem

Înmulțind a doua ecuație cu $2$ și însumând toate ecuațiile, rezultă $3YX=450$, deci $YX=150$. Celelalte două variabile sunt egale cu $YN=5$ și $\mathit{NY}=155$.

Răspuns:

$12$

Fie $g=\gcd (a,b)$. Deci $a=g{a}^{\prime }$, $b=g{b}^{\prime }$ pentru numerele naturale $a^{\prime }$, $b^{\prime }$. Deoarece $g\le a\le b$, succesiunea celor de trei termeni este $(g,a,b)$ sau inversul ei; în ambele cazuri, $a-g=b-a$ sau $b=2a-g$, care devine $b^{\prime }=2a^{\prime }-1$ după împărțirea la $g$. Din condiția asupra sumei obținem

deci $g{a}^{\prime }=675=3^3{5}^2$. Acest număr are $(3+1)\cdot (2+1)=12$ divizori pozitivi și rămâne de verificat dacă fiecare astfel de divizor dă o valoare validă pentru $a^{\prime }$, adică una care poate fi completată la o pereche validă $(a,b)$. Într-adevăr, lăsând $b^{\prime }=2a^{\prime }-1$, $g=675∕a^{\prime }$, $a=g{a}^{\prime }=675$, $b=g{b}^{\prime }$, avem $a\le b$ deoarece $g{a}^{\prime }\le g(2a^{\prime }-1)$ pentru orice numere naturale nenule $a^{\prime }$, $g$ și de asemenea

ca $a^{\prime }$ și $2a^{\prime }-1$ sunt coprime pentru orice număr natural nenul $a^{\prime }$.

Răspuns:

$697$

Observăm că numărul de probleme rezolvate de o echipă este pe deplin determinat de numărul de probleme nerezolvate și invers; acesta poate fi privit și ca un număr de probleme pe care echipa le-a lăsat pe masă la sfârșitul concursului, care poate fi orice număr cel mult egal cu3. Prin urmare, există cel mult

echipe care concurează.

Răspuns:

$51$

Folosind $(x-2)(y-2)=\mathit{xy}-2x-2y+4$, obținem ecuațiile:

și scopul este de a determina $(a-2)(d-2)$. Cum $b\ne 2$ și $c\ne 2$ din a doua ecuație, expresia dorită se poate obține ca

De aceea, $2a+2d-\mathit{ad}=-(-47)+4=51$.

Răspuns:

$540^{\circ }∕7$

Deoarece $\mathit{ABCDEFG}$ este un heptagon obișnuit, unghiul $\mathit{AME}$ este un unghi drept și $\mathit{AE}$ este diametrul cercului mai mare. În loc să măsurăm unghiul dintre tangente în $X$, putem considera în mod echivalent unghiul dintre tangente în $A$, care este al doilea punct de intersecție al celor două cercuri. Acest unghi este la rândul său egal cu unghiul $\mathit{BAE}$ dintre diametrele corespunzătoare, deoarece acestea sunt perpendiculare pe tangente. Mărimea sa, $\frac{3}{7}\cdot 180^{\circ }$, poate fi determinată cu ușurință din simetria heptagonului regulat sau recunoscând că este unghiul înscris corespunzător unghiului central al lui $\frac{3}{7}\cdot 360^{\circ }$ pe cercul circumscris al heptagonului.

Răspuns:

$\frac{2^{100}\cdot (4^{100}-1)}{3}$

Începem cu o observație mai generală: pentru orice număr natural $n$ și numere reale $x_1,x_2,\dots ,x_n$, dacă însumăm expresiile ${(\pm x_1\pm x_2\pm \cdots \pm x_n)}^2$ peste toate opțiunile posibile de semne, rezultatul este întotdeauna

Pentru a vedea de ce este valabil, luăm în considerare descompunerea ${(\pm x_1\pm x_2\pm \cdots \pm x_n)}^2$. Fiecare descompunere constă din termeni pătrați $x_i^2$, precum și din termeni amestecați de forma $\pm 2x_i{x}_j$ pentru $i\ne j$. Fiecare termen $x_i^2$ apare în fiecare descompunere posibilă, indiferent de semnele alese. Deoarece există $2^n$ combinații diferite de semne, acești termeni pătrați contribuie cu un factor total de $2^n$. Pe de altă parte, termenii $\pm 2x_i{x}_j$ apar cu semn pozitiv în exact jumătate din cazuri și cu semn negativ în cealaltă jumătate, în funcție de $x_i$ și $x_j$ dacă au același semn sau nu. Deoarece aceste contribuții se anulează perfect pentru toate opțiunile de semne, ele nu afectează suma finală. Astfel, suma totală se simplifică la $2^n$ ori suma termenilor pătrați, demonstrând formula.

În cazul nostru, avem $x_k=2^{k-1}$, iar suma dorită este egală

Folosind formula pentru suma unei serii geometrice,

Obținem rezultatul final

Răspuns:

$56$

Definim un segment ca fiind o parte a drumului pătrat. Fie $m=24$ și $n>m$ vitezele mașinii mai lente și, respectiv, mai rapide. Observăm că dacă banda de cauciuc se rupe vreodată depinde doar de raportul vitezelor, nu de valorile lor absolute. Astfel, fie $m^{\prime }$, $n^{\prime }$ numere întregi pozitive coprime cu $m^{\prime }:n^{\prime }=m:n$. Pretindem că banda nu se rupe niciodată exact când $n^{\prime }-m^{\prime }$ este un multiplu de $4$.

Mai întâi, să analizăm cazul în care $n^{\prime }-m^{\prime }$ nu este un multiplu al lui 4. După ce mașina mai lentă a parcurs $m^{\prime }$ segmente, se află într-un colț. În același timp, mașina mai rapidă a parcurs $n^{\prime }$ segmente (datorită raportului de viteze), așa că este într-un colț. Deoarece $n^{\prime }-m^{\prime }$ nu este divizibil cu $4$, aceste două colțuri nu pot coincide. Dacă se dovedesc a fi colțuri opuse, banda se rupe imediat. Dacă sunt colțuri învecinate, atunci după ce parcurg alte $m^{\prime }$ și $n^{\prime }$ segmente, mașinile ajung în colțuri opuse, provocând și ruperea benzii.

Să presupunem acum că $n^{\prime }-m^{\prime }$ este un multiplu al lui 4. În primul rând, reținem că mașinile nu pot fi ambele la un colț mai devreme decât atunci când mașina mai lentă a parcurs $m^{\prime }$ segmente. În caz contrar, să spunem că după câteva $s<m^{\prime }$ segmente ale mașinii mai lente, mașina mai rapidă ar fi parcurs $\frac{s}{m^{\prime }}\cdot n^{\prime }$ segmente, care nu pot fi un număr întreg deoarece $m^{\prime }$ și $n^{\prime }$ sunt coprime. Prin urmare, prima dată când ambele mașini ajung la viraje simultan este atunci când mașina mai lentă a parcurs $m^{\prime }$ segmente și mașina mai rapidă $n^{\prime }$. Prin presupunere, $n^{\prime }-m^{\prime }$ este un multiplu de $4$, deci trebuie să ajungă în același colț. Odată ce coincid la un colț, întreaga situație se resetează efectiv (posibil începând dintr-un colț diferit), astfel încât banda nu se rupe niciodată.

Rămâne să găsim cel mai mic $n>24$ care satisface condiția dată. Trebuie să avem $n^{\prime }-m^{\prime }$ divizibil cu $4$. În acest caz, atât $m^{\prime }$ cât și $n^{\prime }$ trebuie să fie impare. Deoarece $m^{\prime }$ este un divizor al lui $m=24$, singurele valori posibile sunt 1 și 3. Dacă $m^{\prime }=1$, cel mai mic $n^{\prime }$ care este coprim cu $m^{\prime }$și astfel încât $n^{\prime }-1$ este un multiplu de $4$ este $5$. Atunci $n=\frac{24}{1}\cdot 5=120$. Dacă $m^{\prime }=3$, cel mai mic $n^{\prime }$ coprim la $m^{\prime }$ cu $n^{\prime }-3$ divizibil cu $4$ este $7$. Aici, $n=\frac{24}{3}\cdot 7=56$. Deoarece $56$ este mai mic decât $120$, concluzionăm că cea mai mică valoare dorită a lui $n$ este de $56$.

Răspuns:

$2^{975}+2025\cdot 2^{2999}=2^{975}\cdot \left(1+2025\cdot 2^{2024}\right)$

Să notăm jucătorii cu numerele $1$, $2$, $\dots$, $2025$ și cantitatea de monede deținute de jucătorul $p$ după rundele $r$ ca $m_{p,r}$. Fără a pierde generalitatea, presupunem că jucătorul $1$ a pierdut prima rundă, jucătorul $2$ pe a doua și așa mai departe. Notăm $M=2^{3000}$, numărul de monede deținute de toți jucătorii la sfârșitul jocului.

Pentru un jucător $p$ după pierderea la $p$-a rundă, suma monedelor sale se dublează până ajunge la $M$ la sfârșitul jocului; deci pentru o rundă $p\le r$, cantitatea de monede este

Mai mult, deoarece jucătorul $r$ a pierdut runda $r$, a pierdut un număr de monede egal cu suma deținută de toți ceilalți jucători și, deoarece suma totală de monede din joc este de $2025M$, rezultă că

Prin rearanjarea ecuației, obținem

Introducând $r=1$, obținem rezultatul dorit

Răspuns:

$\sqrt{10}$

Faptul că, conul final are volum zero înseamnă că unirea a trei suprafețe laterale identice are ca rezultat o formă complet plată - un cerc complet. În consecință, fiecare suprafață de con individuală, atunci când este aplatizată, corespunde unui sector circular cu un unghi central de $120^{\circ }$. Fie $l$ înălțimea înclinată a conului original și $r$ raza bazei. Din unghiul central se obtine relatia $l=3r$. Observăm că înălțimea înclinată rămâne neschimbată în toate cele trei conuri, inclusiv în cel degenerat.

Conul intermediar, format prin unirea a două suprafeţe laterale, are un unghi central de $240^{\circ }$, dându-i o rază de bază de $2r$. Aplicând formula volumului conului, găsim

Din aceasta, calculăm volumul conului original ca

Răspuns:

$82$

Când $n$ este un multiplu de $5$, partea din stânga este un multiplu de $5$; prin urmare, nu există soluții în acest caz. În plus, pentru $n=1$, partea stângă este întotdeauna nepozitivă, deci nici aici nu există soluții. În toate celelalte cazuri, există întotdeauna o soluție dacă ignorăm constrângerea $x\le 200$. Să rearanjăm ecuația la