Zadania a riešenia úloh

Čitateľ aj menovateľ Jefovho zlomku sú prirodzené čísla so súčtom $2011$. Hodnota zlomku je pritom menšia ako $\frac{1}{3}$. Aká najväčšia môže byť hodnota Jefovho zlomku?

Obdĺžnik $\mathit{ABCD}$ pretína kružnicu $k$ v bodoch $E,F,G,H$ tak, že na úsečke $\mathit{AB}$ ležia postupne body $E$ a $F$ a na úsečke $\mathit{CD}$ ležia postupne body $G$ a $H$. Vieme, že $\mid \mathit{AE}\mid =3$, $\mid \mathit{DH}\mid =4$ a $\mid \mathit{GH}\mid =5$. Nájdite vzdialenosť bodov $E$ a $F$.

Vypočítaj ciferný súčet súčtu $1+11+101+1001+\cdots +10\dots 01$, kde v poslednom čísle je $50$ núl.

Niekoľko mandaríniek sme rozdelili do troch sáčkov. V prvom sáčku je o šesť mandaríniek menej ako v zvyšných dvoch sáčkoch dohromady. Podobne, v druhom sáčku je o $10$ mandaríniek menej ako v zvyšných dvoch sáčkoch dohromady. Koľko mandaríniek je v treťom sáčku?

Na stole je $33$ orechov rozdelených aspoň na dve kôpky. V každej kôpke sú aspoň dva orechy. Ak zo všetkých kôpok zoberieme jeden orech a položíme ho na prvú kôpku, tak bude na všetkých kôpkach rovnako veľa orechov. Koľko kôpok mohlo byť pôvodne na stole? Zistite všetky možnosti.

Obdĺžnik je rozdelený dvoma na seba kolmími usečkami na 4 menšie obdĺžniky. Tieto postupne pomenujeme A, B, C a D. Ak sú obvody $A=2\mathit{cm}$, $B=4\mathit{cm}$ a $C=7\mathit{cm}$ koľko je obvod D?

Poznámka: Označujeme po riadkoch nie dookola.

Nájdite rozdielne cifry $A$, $B$ a $C$ (v desiatkovej sústave) také, aby platil nasledujúci sčítací vzťah: $A+\mathit{AB}+\mathit{ABC}=\mathit{BCB}$

Určte obsah obdĺžnika, ak viete, že jeho obvod je $10$ cm a jeho uhlopriečka má dĺžku $\sqrt{15}$ cm.

Edo zobral $N^3$ rovnako veľkých kociek a postavil z nich jednu veľkú kocku o rozmeroch $N\times N\times N$. Celý povrch zafarbil na modro. Určte $N$, ak viete, že je zafarbená desatina celkového povrchu malých kociek.

Koľko najmenej členov má matematický klub v ktoróm je zastpenie žien väčšie ako $48.5\%$ ale menšie ako $50\%$?

Pradávno na súťaži sa vyskytla takáto úloha č. 11: Ak zväčšíte číslo úlohy, ktorú práve držíte v ruke o číslo $n$, získate číslo úlohy s najviac šokujúcim zadaním. Ak ho ale zväčšíte o dvojciferné číslo $k$, získate číslo najhravejšej úlohy. Naviac platí, že $n^3=k^2$. Určte $n$ a $k$, ak viete, že vám zostáva ešte $44$ úloh (vrátane tejto). Viete aj vy nájsť $n$ a $k$?

Nájdite prirodzené číslo $n$ spĺňajúce vzťah $6666^2+8888^2=n^2$

Nájdite najmenšie prirodzené číslo, ktorého desiatkový zápis končí na $17$ je deľiteľné $17$-tim a má ciferný súčet $17$.

Každá dvojica po sebe idúcich cifier istého 2011-ciferného čísla je násobkom $17$ alebo $23$. Jeho posledná cifra je $1$. Určte jeho prvú cifru.

Prirodzené číslo nazývame luxusné, ak každé iné číslo s rovnakým ciferným súčtom je od neho väčšie. Zistite koľko je trojciferných luxusných čísel.

Škrečkové reálne čísla $x$, $y$, $z$ spĺňajú $(x-y)∕(z-y)=-10$. Aké hodnoty môže nadobúdať výraz $(x-z)∕(y-z)$? Nájdite všetky možnosti.

Číslice $1,2,\dots ,9$ napíšeme za sebou v nejakom poradí tak, aby vzniklo deväťciferné číslo. Uvažujme všetky trojice po sebe idúcich cifier tohto čísla a k týmto trojiciam zodpovedajúce trojciferné čísla sčítame. Aký najväčší výsledok môžeme dostať?

V každom políčku tabuľky $10\times 10$ je napísané číslo. Filip si vybral dve čísla z tabuľky a do zošita si napísal ich súčin. Toto spravil pre všetky dvojice čísel z tabuľky. Všimol si, že práve $1000$ z týchto súčinov je záporných. Koľko z pôvodných čísel mohlo byť rovných nule? Vypíšte všetky možnosti.

V istom kráľovstve začali raziť mince. Počas prvého dňa razili mince v hodnote $1$ fufeň. Každý ďalší deň razili mince v najmenšej hodnote, ktorá sa nedala zaplatiť pomocou maximálne desiatich už vyrazených mincí. Mince akej hodnoty razili počas $2011$-teho dňa?

Označme $p$ riešenie tejto úlohy. Určte pravdepodobnosť, že náhodne vybratý bod vnútri štvorca s dĺžkou strany $1$ cm je vzdialený od všetkých jeho strán aspoň $p$.

Tabuľka $3\times 3$ je vyplnená celými číslami. Súčty čísel v riadkoch zhora nadol stúpajú o 2 a súčty čísel v stĺpcoch zľava doprava sa zdvojnásobujú. Ak je súčet jedného z riadkov 2011, tak aký je súčet čísel v ľavom stĺpci?

Dva trajekty vyplávali naraz proti sebe cez zátoku. Oba plávali po priamke konštantnou ale rozdielnou rýchlosťou. Prvý krát sa stretli vo vzdialenosti $100m$ od jedného brehu. Keď, každý z nich doplával k protiľahlému brehu ihneď sa otočili a plávali rovnakou rýchlosťou naspäť. Na spoatočnej ceste sa stretili vo vzdialenosti $70m$ od druhého brehu. Aká široká je zátoka?

Vrcholy hviezdy na obrázku tvoria pravidelný sedemuholník. Aká je veľkosť vyznačeného uhla?

Nájdite všetky $x$ spĺňajúce

Zistite počet usporiadaných trojíc prirodzených čísel $(a,b,c)$ takých, že $a+b+c\le 30$ a

V rovine je daná kružnica s polomerom $1$, stredom $0$ a priemerom $\mathit{AC}$. Označme $p$ kolmicu na priemer $\mathit{AC}$ prechádzajúcu bodom $O$. Zvolíme bod $U$ na priamke $p$ mimo kružnice taký, že ak označíme druhý priesečník kružnice s priamkou $\mathit{AU}$ ako $B$, tak platí $|\mathit{BU}|=1$. Určte dĺžku úsečky $\mathit{OU}$.

Bitky dvoch armád $A$ a $B$ sa zúčastnilo dokopy $1000$ vojakov. Armády strieľali v salvách. V každej salve zastrelil každý vojak jedného vojaka z nepriateľskej armády (ak je to možné, tak každý iného). V tejto bitke strieľala najprv armáda $A$, potom armáda $B$ a nakoniec armáda $A$. Najmenej koľko vojakov bitku určite prežilo?

Všetkých šesť strán konvexného šesťuholníka $A_1{A}_2{A}_3{A}_4{A}_5{A}_6$ je zafarbených na červeno. Každú z uhlopriečok zafarbíme buď na červeno, alebo na modro. Koľko je zafarbení takých, že každý trojuholník $A_i{A}_j{A}_k$ ($i\ne j\ne k\ne i$) má aspoň jednu zo svojich strán zafarbenú na červeno?

Petržlen najskôr povedal jedno prirodzené číslo Škrečkovi a jedno prirodzené číslo Jefovi. Potom im povedal, že ich čísla sú rôzne a súčet ich čísel je dvojciferné číslo. Následne sa začali Škrečok s Jefom rozprávať:

Škrečok: „Neviem povedať, kto z nás má väčšie číslo.“

Jefo: „Ani ja, ale prezradím, že moje číslo je deliteľné mi.“

Škrečok: „Aha!, tak ja už teraz viem aký je súčet našich čísel.“

Čomu sa rovná tento súčet, ak obaja uvažovali bezchybne?

V kaviarni sú Indovia a Turci a dohromady je ich $55$. Každý z nich pije buď kávu alebo čaj. Ind je pravdovravný práve vtedy, keď pije čaj. Turek je pravdovravný práve vtedy, keď pije kávu. Na otázky: „Pijete kávu?“, „Ste Turek?“ a „Prší vonku?“ boli počty kladných odpovedí postupne $44$, $33$ a $22$ (každý odpovedal práve raz). Koľko Indov pije čaj? Nájdite všetky možnosti.

Za pravý koniec prirodzeného čísla $A$ v desiatkovom zápise boli dopísané tri cifry, čím vzniklo číslo, ktoré je súčtom všetkých prirodzených čísel od $1$ po $A$ vrátane. Zistite všetky možné hodnoty čísla $A$.

Amanda, Bohumila, Celestína, Dobroslava a Etelka hrajú turnaj v štvorhre v stolnom tenise. Každá dvojica hrala proti každej inej dvojici práve raz. Amanda vyhrala dokopy $12$ zápasov a Bohumila ich vyhrala $6$. Koľko zápasov mohla vyhrať Celestína? Nájdite všetky možnosti.

Dvaja hráči hrajú na uvedenom pláne pozostávajúceho z 30 políčok hru podľa následujúcich pravidiel.

1.

hráči sa striedajú v ťahoch,

2.

ťahom rozumieme vyfarbenie práve jedného políčka,

3.

v prvom ťahu sa vyfarbí políčko susediace s vonkajškom terča a v každom ďalšom ťahu sa vyfarbí políčko, ktoré susedí s posledným vyfarbeným políčkom a nie je ďalej od stredu,

4.

vyfarbené políčko sa nesmie znovu vyfarbovať,

5.

kto nemôže potiahnuť, prehral.

Koľko políčok bude vyfarbených na konci hry, v ktorej obaja hráči hrajú bezchybne a ten, kto nemôže vyhrať, sa snaží hru čo najviac predlžovať?

V trojuholníku $\mathit{ABC}$ platí $|\mathit{AC}|=|\mathit{BC}|$. Vo vnútri strany $\mathit{AB}$ bližšie k bodu $B$ určíme bod $P$ tak, aby $|\sphericalangle \mathit{ACP}|=30^{\circ }$. Ďalej určíme bod $Q$ tak, aby $|\sphericalangle \mathit{CPQ}|=78^{\circ }$ a aby body $C$ a $Q$ ležali v opačných polrovinách určených priamkou $\mathit{AB}$. Vieme, že všetky uhly v trojuholníkoch $\mathit{ABC}$ a $\mathit{PQB}$ sú vyjadrené celočíselne v stupňoch. Zistite, aké hodnoty môže nadobúdať uhol $\mathit{BQP}$.

Desať ľudí sedelo za radom vedľa seba v divadle. Po prestávke si sadli tak, že práve dvaja z nich zostali na svojich pôvodných miestach a zvyšných osem sa posadilo na stoličku jedného zo susedov. Koľkými spôsobmi to mohli urobiť?

Na každej stene kocky je napísané prirodzené číslo. Každému vrcholu kocky priradíme súčin čísel napísaných na troch príľahlých stenách. Vieme, že súčet čísel priradených vrcholom je $165$. Aké hodnoty môže nadobúdať súčet čísel na stenách?

Dvaja cyklisti pretekali na rovnej ulici v cestnom maratóne. Štartovali spoločne v rovnaký čas a z rovnakého konca ulice. Ak ľubovoľný z nich dorazil na ľubovoľný koniec ulice, tak sa otočil a išiel späť. Do okamihu, kým sa obaja zase stretli na jednom z koncov ulice, prešiel prvý z nich ulicu $47$-krát a druhý $35$-krát. Koľkokrát sa počas tejto doby čelne minuli?

Nájdite najväčšie prirodzené číslo také, že všetky cifry okrem prvej a poslednej sú menšie ako aritmetický priemer susedných dvoch cifier.

Dve tetrisové kocky zostavené zo štvorcov o rozmeroch $1\times 1\mathrm{dm}$ sa dotýkajú v bodoch $A$, $B$, $C$ ako na obrázku. Určte vzdialenosť $|\mathit{AB}|$.

V rovine je daných $100$ rôznych mrežových bodov. Každé dva rôzne body spojíme úsečkou. Najmenej koľko z týchto úsečiek má stred v mrežovom bode?

Poznámka: bod v rovine nazývame mrežový, ak sú obe jeho súradnice celočíselné.

Päťciferné číslo nazveme nerozložiteľné, ak sa nedá napísať ako súčin dvoch trojciferných čísel. Najviac koľko nerozložiteľných čísel môže nasledovať bezprostredne za sebou?

Reálne čísla $x$ a $y$ spĺňajú ${(x+5)}^2+{(y-12)}^2=14^2$. Určte minimum $x^2+y^2$.

Postupnosť vytvárame postupne pomocou vzorca

kým má pravá strana zmysel (tj. nedelí sa nulou). Navyše vieme, že $a_1=20$ a $a_2=11$. Určte najmenšie $t$ také, že $a_t=0$.

Je daný ostrouhlý trojuholník $\mathit{ABC}$ s výškami $A{A}^{\prime }$, $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$, ktoré sa pretínajú v bode $H$. Navyše platí

Určte $\frac{|\mathit{CH}|}{|H{C}^{\prime }|}$.

Na oslave každý (vrátane Ondra) pozná práve sedem chlapcov a presne desať dievčat. Známosti sú vzájomné a nikto nepozná sám seba. Koľko najmenej ľudí mohlo byť na oslave?

Bod $S$ je stredom strany $\mathit{CD}$ obdĺžnika $\mathit{ABCD}$. Obe kružnice vpísané trojuholníkom $\mathit{ASD}$ a $\mathit{BSC}$ majú polomer $3$ a kružnica vpísaná trojuholníku $\mathit{ASC}$ má polomer $4$. Určte veľkosti strán obdĺžnika.

Kladných deliteľov prirodzeného čísla $n$ menších od $n$ si napíšeme od najväčšieho po najmenšieho. Ak je súčet druhého a tretieho napísaného čísla rovný prvému napísanému číslu, tak číslo $n$ nazveme sčítacie. Koľko existuje sčítacích čísel menších ako $15000$?

Nájdite všetky reálne čísla $x$ spĺňajúce vzťah

Umiestnenie hodinovej a minútovej ručičky na ciferníku nazývame korektné, ak vyjadruje skutočný čas v priebehu dňa. Zistite, koľko existuje takých korektných umiestnení, ktoré zostanú korektné aj po zámene ručičiek.

Nech $a$, $b$, $c$ sú také nenulové reálne čísla, že kvadratické trojčleny $a{x}^2+\mathit{bx}+c$ a $b{x}^2+\mathit{cx}+a$ majú spoločný koreň. Určte, aké hodnoty môže tento spoločný koreň nadobúdať.

Nájdite všetky celé čísla $n$ také, že obe čísla $16n+9$ a $9n+16$ sú druhými mocninami nejakých prirodzených čísel.

Je daný pravidelný osemsten s hranou dĺžky $2$. Jednej jeho stene vpíšeme kružnicu a stene s ňou susediacej kružnicu opíšeme. Aká je najmenšia vzdialenosť medzi týmito dvoma kružnicami?

Je daný trojuholník $\mathit{ABC}$ s polomerom opísanej kružnice $5$ a polomerom vpísanej kružnice $2$. Vnútri trojuholníka sú do uhlov $\mathit{BAC}$, $\mathit{CBA}$, $\mathit{ACB}$ vpísané zhodné kružnice s polomerom $r$ tak, že existuje ďalšia kružnica s polomerom $r$, ktorá má so všetkými z nich vonkajší dotyk. Určte $r$.

Pre reálne čísla $a,b,x,y$ platí

Určte hodnotu $a{x}^5+b{y}^5$.