Zadania a riešenia úloh

Ak hranu kocky zväčšíme o $100\%$, tak o koľko percent sa zväčší jej objem?

Najviac na koľko častí sa dá troma priamkami rozdeliť medzikružie?

Ak $a679b$ je päťciferné číslo deliteľné $72$ zistite hodnotu súčinu $a\cdot b$

Učiteľ matematiky sa rozhodol usporiadať dve kolá minináboja päťčlenných družstiev vo svojej triede. V prvom kole sa žiaci rozdelili do družstiev ako chceli a v druhom kole ich učiteľ rozdelil tak, aby nikto nebol v družstve s nikým, s kým bol v družstve v prvom kole. Aký je najmenší počet žiakov, pre ktorý sa to učiteľovi vždy podarí?

Vanilkový koláč tvaru kvádra s rozmermi $10\times 10\times 5$ je na celom povrchu pokrytý tenkou vrstvou čokolády. Koláč rozrežeme na kocky $1\times 1\times 1$. Koľko percent kúskov nemá na sebe žiadnu čokoládu?

Majme štvorec $\mathit{ABCD}$ so stranou dĺžky $2$ a bod $X$ ležiaci mimo neho taký, že $\mid \mathit{AX}\mid =\mid \mathit{XB}\mid =\sqrt{2}$. Akú dĺžku má najdlhšia uhlopriečka päťuholníka?

V súčine $5\cdot 414=1121$ každú cifru zväčšite alebo zmenšite o $1$ tak, aby bol výsledok správny. Aký bude výsledok?

Pre celé čísla $x$ a $y$ platí, že ich súčet je nanajvýš $200$ a ich rozdiel je menší ako $100$. Nájdite maximálnu hodnotu, ktorú môže nadobúdať výraz $2\mathit{min}(x,y)+\mathit{max}(x,y)$. Výraz $\mathit{min}(x,y)$ (resp. $\mathit{max}(x,y)$) nadobúda hodnotu menšieho (najväčšieho) čísla z dvojice (x,y)

Pre reálne čísla $x$, $y$ a $z$ platí, že aritmetický priemer čísel $x$ a $2y$ je rovný $7$ a aritmetický priemer čísel $x$ a $2z$ je rovný $8$. Aký je aritmetický priemer čísel $x$, $y$ a $z$?

V mrežových bodoch záhrady $8\times 8$ stojí $81$ stromov. Záhradník vyrezal jeden z rohových stromov a teraz sa z jeho miesta pozerá na ostatné stromy. Niektoré však nevidí, pretože ich zakrývajú iné a to práve takto: strom $S$ je zakrytý práve vtedy ak na úsečke medzi stromom $S$ a záhradníkom leží iný strom, t.j. mrežový bod. Koľko stromov vidí záhradník?

Koľkými spôsobmi vieme ofarbiť steny kocky čiernou a bielou farbou? Dve ofarbenia považujeme za rovnaké, ak dokážeme otočením jedného z nich dostať druhé.

Majme obdĺžnik $\mathit{ABCD}$ so stranami $|\mathit{AB}|=20$ a $|\mathit{BC}|=12$. Na polpriamke $\overrightarrow{\mathit{BC}}$ Leží bod $Z$ taký, že $|\mathit{CZ}|=18$. Bod $E$ leží vo vnútri $\mathit{ABCD}$, pričom platí, že vzdialenosť $E$ od $\mathit{AB}$ aj $\mathit{AD}$ je $6$. Priamka $\mathit{EZ}$ pretína strany $\mathit{AB}$ a $\mathit{CD}$ postupne v bodoch $X$ a $Y$. Zistite obsah štvoruholníka $\mathit{AXY}D$.

Pre koľko prirodzených čísel $a$, $1\le a\le 2012$, je číslo $a^a$ druhou mocninou prirodzeného čísla?

Majme rovnostranný trojuholník so stranou $1$ položený na podlahe. Jeden z jeho bodov zafarbíme na červeno. Trojuholník kotúľame po podlahe a trikrát ho preklopíme. Akú dlhú dráhu prejde červený bod?

Aké je najmenšie kladné číslo zložené iba z núl a jednotiek, ktoré je deľiteľné $225$?

Jefo je dosť starý na to, aby volil, ale nie dosť na to, aby mohol využívať dôchodcovskú zľavu (jeho vek je medzi 18 a 70). Je o ňom známe, že pred $x$ rokmi bol jeho vek odmocninou z jeho veku o $x$ rokov. Jefov vek je druhou mocninou prirodzeného čísla. Nájdite prirodzené číslo $x$.

Priložme ľavý dolný roh obdĺžnikového papiera k pravému hornému rohu. Vznikne tak útvar rozdelený na tri trojuholníky, ktorých strany tvoria okraje papiera, a čiara zohnutia. Pre aký pomer dĺžok strán papiera je pomer obsahov týchto troch trojuholníkov $1:2:1$?

Koľko je trojciferných čísel deliteľných šiestimi, v ktorých je každá cifra väčšia ako $4$?

Dané sú tri kružnice s polomerom $1$, pričom každé dve z nich sa navzájom zvonka dotýkajú. Týmto kružniciam opíšeme kružnicu $k$ tak, aby sa jej zvnútra dotýkali všetky 3 kružnice. Vypočítajte polomer kružnice $k$.

Nech $n$ je prirodzené číslo. Ak $n^2$ má na mieste desiatok cifru $7$ akú cifru môže mať na mieste jednotiek?

Ak napíšeme čísla $1,2,3,\mathit{\dots n}$ v nejakom poradí, získame tak $n$-reťazec. Napríklad, jeden z možných $n$-reťazcov dĺžky 11 je:

Aké je najmenšie $n>1$ také, že existuje $n$-reťazec, ktorý je palindrómom (číta sa odpredu rovnako ako odzadu)?

Nájdite všetky trojice (x,y,z) kladných rálnych čísel $x$, $y$ a $z$ pre ktoré platí $(x+y)(x+y+z)=120$, $(y+z)(x+y+z)=96$ a $(z+x)(x+y+z)=72$.

Majme kruh s polomerom 1 a v ňom dve kolmé tetivy, ktoré delia kruh na 4 časti. Ofarbíme časť s najväčším a časť s najmenším obsahom čiernou, zvyšné necháme biele. Vieme, že obsah bielych častí bude taký ako obsah čiernych častí. Aká je maximálna možná vzdialenosť dlhšej tetivy od stredu kružnice?

Strážnik má za úlohu strážiť tri objekty. Má obchôdzkové trasy ako na obrázku. Jedna obchôdzka začína v bode $A$, prejde cez každý úsek práve raz a vráti sa na začiatok. Ak záleží na smere obchádzania budovy, tak koľko rôznych obchôdzok existuje?

Lichobežník má strany dĺžky $5,3\sqrt{2},2$ a $3$ v tomto poradí, pričom rovnobežné sú strany dlhé 5 a 2. Aký má obsah?

V rade za sebou stojí $42$ ľudí a chcú sa zoradiť podľa výšky tak, aby vpredu stál najvyšší. V jednom ťahu si môžu vymeniť miesto dvaja za sebou. Koľko najmenej ťahov potrebujú na to, aby sa týmto spôsobom zoradili, keď stoja na začiatku ľubovoľne?

Petržlen žije v zeleninovom štáte, kde sa platí iba mincami v hodnote $7$ alebo $11$. Ak by mal Petržlen z oboch druhov mincí ľubovoľný počet, aká je najvyššia cena, ktorú nimi nevie zaplatiť?

Rozdelíme kruh s polomerom $1$ ľubovoľným spôsobom na štyri súvislé časti. Aký najmenší obvod môže mať časť s najväčším obsahom? Ak má viacero častí najväčší obsah, tak berieme tú s najmenším obvodom.

Nájdite súčet všetkých reálnych čísel $a$, pre ktoré majú rovnice $x^2+\mathit{ax}+1=0$ a $x^2+x+a=0$ aspoň jeden spoločný reálny koreň.

Koľko je takých osemciferných prirodzených čísel, že po škrtnutí ich prvej cifry zostane číslo $35$-krát menšie ako pôvodné?

Máme pravouhlý trojuholník, ktorého všetky strany majú celočíselnú dĺžku. Ak má jedna z jeho strán dĺžku $2012$, aký môže mať najväčší obsah?

Nech $\mathit{ABC}$ je trojuholník so stredom kružnice opísanej $O$ a priesečníkom výšok $H$, pričom body $A$, $B$, $C$, $O$ a $H$ majú celočíselné súradnice a žiadne dva nesplývajú. Aký je druhý najmenší možný polomer kružnice opísanej trojuholníku $\mathit{ABC}$?

Nájdite najväčšie prirodzené číslo $n$ také, že číslo $7^{2048}-1$ je deliteľné $2^n$

Ak počítame súčin cifier daného čísla, potom súčin cifier tohto súčinu, potom znova súčin cifier nového súčinu atď., nutne po nejakom počte krokov dospejeme k jednocifernému číslu. Tento počet krokov nazývame vytrvalosťou čísla. Napr. číslo $723$ má vytrvalosť $2$, lebo $7\cdot 2\cdot 3=42$ (1. krok) a $4\cdot 2=8$ (2. krok). Nájdite najväčšie párne číslo s navzájom rôznymi nenulovými ciframi a vytrvalosťou $3$.

Ak strany $\mathit{AD}$ a $\mathit{BC}$ konvexného štvoruholníka $\mathit{ABCD}$ predĺžime, tak sa pretnú v bode $E$. Označme $H$ a $G$ postupne stredy $\mathit{BD}$ a $\mathit{AC}$. Nájdite pomer obsahu trojuholníka $\mathit{EHG}$ a obsahu štvoruholníka $\mathit{ABCD}$. Prezradíme vám, že tento pomer je rovnaký pre každý konvexný štvoruholník $\mathit{ABCD}$, ktorého strany $\mathit{AD}$ a $\mathit{BC}$ nie sú rovnobežné.

Kockaté termity vyvŕtali cez kocku so stranou dĺžky $5$ centimetrov v každom smere štyri rovnako veľké chodbičky ako na obrázku a opustili ju. To čo z kocky ostalo, chceme ofarbiť antitermitiou farbou. Koľko centimetrov štvorcových musáme ofarbiť?

Máme kruh s polomerom $1$ a stojíme na najľavejšom bode jeho obvodu. Môžeme sa hýbať len doprava a hore. Akú dĺžku má najdlhšia trasa, ktorú môžeme prejsť, ak nechceme z kruhu vyjsť?

Aký je najväčší deliteľ čísla $15!$ taký, že po vydelení $6$ dáva zvyšok $5$?

Máme kocku a v nej nasledovných $27$ bodov: vrcholy kocky, stredy hrán, stredy stien a stred kocky. Koľko je priamok, ktoré prechádzajú práve cez tri body?

Sútaže trvajúcej $k$ dní sa zúčastnilo $n$ účastníkov. Každý deň všetci účastníci získali skóre $1,2,\mathit{\dots n}$ bodov, pričom žiadni dvaja nemali rovnaký počet bodov za daný deň. Na konci súťaže ($k$-ty deň večer po súťaži) mal každý účastník v súčte za všetky dni skóre $26$ bodov. Nezávisle od $k$, nájdite súčet všetkých $n$, pre ktoré je to možné.

Máme tortu, ktorú chceme rozrezať. Torta má tvar valca a každý rez má tvar roviny. Napríklad dvoma rezmi ju vieme rozrezať na štyri časti a troma rezmi na osem častí. Na koľko najviac častí ju vieme rozrezať piatimi rezmi?

Osemramenná hviezda je teleso, ktoré vznikne prilepením pravidelných štvorstenov na všetky steny pravidelného osemstena. Hrany osemstena aj všetkých štvorstenov majú dĺžku 1. Aký objem má osemramenná hviezda?

Stopár ide po ceste. Šanca, že v najbližších $20$ minútach stretne auto je $609∕625$. Ak je v každom okamihu rovnaká šanca, že stretne auto, tak aká je šanca, že stretne auto v najbližších piatich minútach?

Vandal a moderátor upravujú článok na Wikipédii. Na začiatku bol článok bez chyby a každý deň vandal pridal jeden chybný údaj. Na konci každého dňa má moderátor $\frac{2}{3}$ šancu na nájdenie každej jednotlivej chyby, ktorá ešte v článku je. Aká je šanca, že po troch dňoch bude článok bezchybný?

Máme k dispozícii neobmedzenú zásobu červených, modrých a žltých kariet. Za každú kartu sa dostávajú body, a to nasledovne:

• za každú červenú kartu je jeden bod
• za každú modrú kartu je toľko bodov, koľko je dvojnásobok počtu našich červených kariet
• za každú žltú kartu je toľko bodov, koľko je trojnásobok počtu našich modrých kariet

Koľko najviac bodov dokážeme získať pomocou pätnástich kariet?

Matúš má jednu $20$-stennú hraciu kocku a CDčko má tri $6$-stenné hracie kocky. Aká je šanca, že po hodení kockami bude hodnota na Matúšovej kocke väčšia, ako súčet hodnôt na CDčkových kockách?

Majme tabuľku $10\times 10$. Riadky, resp. stĺpce očíslujeme postupne zľava doprava resp. zhora, dole číslami od $1$ po $10$. Do každého políčka vpíšeme súčin čísla riadku a čísla stĺpca, v ktorom sa nachádza. Stanka stojí na políčku v ľavom hornom rohu a chce sa dostať na políčko v pravom dolnom rohu. Stanka môže chodiť iba doprava a dole (šikmo nie). Stankine číslo je súčinom čísel na políčkach, na ktoré Stanka stúpila (vrátane prvého a posledného). Ak uvažujeme všetky možné Stankine čísla, aký je ich najväčší spoločný deliteľ?

Majme trojuholník s výškami dlhými $3$, $4$ a $6$. Aký je jeho obvod?

Nájdite najväčšie prirodzené číslo $n\le 4,000,000$, pre ktoré je výraz $\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{\dots }}}$ racionálny.

Majme Maxištvorec $3\times 3$ tvorený deviatimi štvorcovými kachličkami. Každá kachlička je rozdelená na štyri rovnaké štvorčeky, v ktorých sú vpísané čísla $1$, $2$, $3$ a $4$ (každé práve raz). Dve kachličky sa môžu dotýkať len rovnakými číslami (ako dominá). Koľko rôznych Maxištvorcov existuje?

Ondro svoje obľúbené číslo (zapísané v desiatkovej sústave a bez nuly na začiatku) nazýva balónik. Pre balónik platí:

• Číslo o 1 väčšie ako balónik je deliteľné 210.
• Ciferný súčet balónika je dvojnásobok počtu jeho cifier.
• Balónik nemá viac ako 12 cifier.
• Cifry balónika sú na striedačku párne a nepárne (balónik nemusí začínať párnou cifrou).

Určite hodnotu Ondrovho balónika.

Štvorciferné číslo $n$ je také, že posledné $4$ cifry z $n^2$ je číslo $n$ samo. Nájdite $n$.

Zistite súčet všetkých päťciferných palindrómov. Palindróm je číslo, ktoré vyzerá rovnako spredu aj zozadu. Napr. $12321$ je palindróm.

Majme štyri nepárne prirodzené čísla $a$, $b$, $c$ a $d$, ktoré spĺňajú $a+b+c+d=98$. Koľkými rôznymi spôsobmi môžeme tieto čísla vybrať?

Nájdite jediné jedenásťciferné prirodzené číslo začínajúce jednotkou také, že keď ho napíšeme dvakrát za sebou, tak dostaneme druhú mocninu nejakého prirodzeného čísla.

Dva rôzne trojuholníky so stranami dĺžok $18$, $24$ a $30$ majú spoločnú vpísanú aj opísanú kružnicu. Aký obsah má ich spoločná plocha?

Majme mriežku $5\times 5$. Každý štvorček chceme zafarbiť bielou alebo čiernou farbou, aby platilo, že v každom riadku aj stĺpci sú práve dva čierne štvorčeky. Koľkými spôsobmi to vieme urobiť?

Body $X$ a $Y$ sú vo vnútri štvorca so stranou $1$. Diaľkou vrchola štvorca označme jeho vzdialenosť k bližšiemu z bodov $X$ a $Y$. Aký je najmenší možný súčet diaľok vrcholov štvorca?

Parkovisko pozostáva z $2012$ parkovacích miest pravidelne rozložených v jednom rade označených číslami $1$ až $2012$. Postupne tam po jednom zaparkuje $2012$ áut, pričom postupujú nasledovne:

• Prvé auto si náhodne vyberie jedno z $2012$ miest.
• Každé ďalšie auto si vyberá s rovnakou pravdepodobnosťou zo všetkých miest, ktorých vzdialenosť od najbližšieho obsadeného miesta je v danej chvíli najväčšia.

Aká je pravdepodobnosť, že posledné auto zaparkuje na mieste s číslom $1$?

Nájdite všetky reálne čísla $x$ spĺňajúce $(x^2+3x+2)(x^2-2x-1)(x^2-7+12)+24=0$.