Zadania a riešenia úloh

Je známe, že číslo $2013$ sa dá práve jedným spôsobom zapísať ako súčet dvoch prvočísel. Čomu je rovný ich súčin?

Dva kruhy s polomerom $1$ sa pretínajú tak, že obsah prieniku je rovný súčtu zvyškov. Čomu je rovný obsah prieniku?

Máme päť žltých kolíkov, štyri červené, tri zelené, dva modré a jeden oranžový. Koľkými spôsobmi ich môžeme rozmiestniť do trojuholníkovej siete (pozri obrázok) tak, aby v žiadnom riadku ani stĺpci neboli dva kolíky rovnakej farby? Rovnako farebné kolíky považujeme za nerozlíšiteľné.

Nájdite najmenšie prirodzené číslo, ktorého súčin cifier je rovný 600.

Reálne čísla $a$ a $b$ splňujú: $a+\frac{1}{b}=7$, $b+\frac{1}{a}=5$. Čomu je rovný výraz $\mathit{ab}+\frac{1}{\mathit{ab}}$?

Lukáš objavil šesťciferné prirodzené číslo spĺňajúce nasledujúce podmienky:

1.

Číslo sa číta rovnako zľava doprava i sprava doľava.

2.

Je deliteľné deviatimi.

3.

Po škrtnutí prvej a poslednej cifry je jediným prvočíselným deliteľom nového čísla číslo 11.

Ktoré číslo Lukáš objavil?

Na priemere $\mathit{AB}$ polkružnice $k$ je daný bod $D$. Kolmica k $\mathit{AB}$ vedená bodom $D$ pretne polkružnicu v bode $C$. Ak sú dĺžky oblúkov $\mathit{AC}$ a $\mathit{CB}$ polkružnice $k$ v pomere $1:2$, určte hodnotu pomeru $\mid \mathit{AD}\mid :\mid \mathit{DB}\mid$.

Dvaja rozmaznaní bratia Viktor a Mišo dostali balíček cukríkov, ktorý si pol na pol rozdelili. Každý z nich zje počas dňa dva až tri cukríky. Malému Viktorovi cukríky vydržali šestnásť dní, staršiemu Mišovi prestne tri týždne. Koľko cukríkov bolo v balíčku?

Koľkými spôsobmi môžeme v schéme na obrázku prečítať slovo Náboj?

Na ostrove žijú obyvatelia dvoch typov: pravdovravní vždy hovoria pravdu, klamári zásadne klamú. Dvanásť obyvateľov ostrova sa posadilo do kruhu. Všetci svorne tvrdia, že sú pravdovravní. Tiež tvrdia, že po ich pravej ruke sedí klamár. Koľko najviac klamárov môže byť medzi týmito dvanástimi ľuďmi?

Lukáš má jedenásť zhodných štvorcových dlaždičiek — šesť čiernych, tri modré a dve zelené. Koľkými spôsobmi môže z niektorých deviatich z nich zostaviť tabuľku $3\times 3$, ak musí ofarbenie tabuľky ostať zachované, ak ju otočíme o $90^{\circ }$ po smere hodinových ručičiek? Dlaždičky rovnakej farby považujeme za nerozlíšiteľné.

Na ostrove sú ženaté dve pätiny mužov a vydaté tri pätiny žien. Koľko percent obyvateľstva ostrova žije v manželstve?

Aká je dĺžka strany najväčšieho rovstranného trojuholníka, ktorý možno vystrihnúť z obdĺžnikového papiera o rozmeroch $21\times 29,7$ cm?

Dáška si vzala štvorcový kus papiera a zložila ho štyrikrát na polovicu bez spätného rozkladania tak, že každým zložením vytvorila rovnoramenný pravouhlý trojuholník. Koľko štvorcov je vidieť po rozložení papiera?

Koľko päťuholníkov je na obrázku?

Pri sčítaní dvoch prirodzených čísel Dominik omylom za jedno z nich pripísal nulu, a tak mu vyšlo 3858 namiesto 2013. Čomu je rovné väčšie z čísel, ktoré mal Dominik sčítať?

Aký polomer má najmenší kruh, ktorým možno zakryť trojuholník so stranami dĺžok $3$, $5$ a $7$.

Lukáš, Mirek, Pepa a Viktor majú dokopy $100$ lízaniek. Pritom každý dvaja z nich majú dokopy lízaniek aspoň $41$. Koľko najmenej lízaniek môže mať Pepa?

Viktor si nakreslil obdĺžnik $\mathit{ABCD}$ s obsahom $80$ a dĺžkou uhlopriečky $16$. Čomu je rovný sínus ostrého uhla, ktorý zvierajú uhlopriečky obdĺžnika?

Akú najväčšiu hodnotu môže mať výraz $a^b+c^d$ ak $a$, $b$, $c$ a $d$ sú navzájom rôzne čísla z množiny $\{-7,-5,-4,-3,-2,-1\}$?

Do roviny s kartézskou súradnicovou sústavou sme náhodne umiestnili uhol o veľkosti $110^{\circ }$. Aká je pravdepodobnosť, že ramená tohto uhla tvoria graf funkcie?

Pepa si 23. marca 2012 nakreslil pravidelný stouholník $A_1,A_2\dots A_{100}$ (číslovaný v smere hodinových ručičiek) a na jeden náhodný vrchol položil žetón. Každé ďalšie ráno potom posunul žetón o toľko vrcholov po smere hodinových ručičiek, aké bolo číslo vrcholu na ktorom práve žetón ležal (napríklad z vrcholu $A_3$ by sa tento žetón presunul na $A_6$, z vrcholu $A_{96}$ na $A_{92}$). Teraz leží žetón na vrchole $A_{100}$. Aká bola pravdepodobnosť, že sa niečo také stane?

Prirodzeným číslam, ktoré sa dajú napísať ako rozdiel druhých mocnín dvoch celých čísel, hovorme rozdielové. Koľko z čísel $1,2,\dots 2013$ je rozdielových?

Tri pravidelné neprekrývajúce sa mnohouholníky o stranách dĺžky $1$ sa stretávajú v bode $A$ tak, že tvoria (nekonvexný) mnohouholník $M$, pre ktorý je bod $A$ vnútorným bodom. Ak je jeden z mnohouholníkov šesťuholník a druhý štvorec, určte obvod mnohouholníka $M$.

Viktor napísal na papier čísla $1$ až $100$ v náhodnom poradí. Aká je pravdepodobnosť, že pre každé $i=1,\dots 50$ je to $(2i-1)$-te menšie ako to $2i$-te?

Ružová farba vznikne zmiešaním červenej a bielej v pomere $1:1$, azúrová vznikne z modrej a bielej v pomere $1:2$. Stanka si chce vymaľovať izbu farbou, ktorá vznikne z ružovej a azúrovej zmiešanej v pomere $2:1$. Zatiaľ zmiešala tri plechovky modrej a jednu plechovku červenej farby. Ostávajú jej už len plechovky s červenou a bielou farbou. Koľko celkom plechoviek ešte musí pridať?

V klobúku je niekoľko bielych, sivých a čiernych králikov. Je známe, že keď kúzelník začne králiky postupne náhodne vyťahovať (bez toho, aby ich vracal späť), je pravdepodobnosť, že vytiahne skôr bieleho králika ako sivého, rovná $\frac{3}{4}$. Podobne je pravdepodobnosť, že vytiahne skôr sivého králika ako čierneho, rovná $\frac{3}{4}$. Aká je pravdepodobnosť, že vytiahne skôr bieleho králika ako čierneho?

Pre prirodzené čísla $a$, $b$ platí $49a+99b=2013$. Určte hodnotu súčtu $a+b$.

V rohoch štvorca $\mathit{PQRS}$ o strane dĺžky $6$cm sú umiestnené štyri menšie štvorce o stranách dĺžky $2$cm. Označme ich vrcholy $W$, $X$, $Y$, $Z$ ako na obrázku. Štvorec $\mathit{ABCD}$ je zostrojený tak, že body $W$, $X$, $Y$, $Z$ ležia vo vnútri jeho strán $\mathit{AB}$, $\mathit{BC}$, $\mathit{CD}$, $\mathit{DA}$. Určte najväčšiu možnú vzdialenosť bodov $P$ a $D$.

V dvadsiatich krabiciach je spolu $129$ jabĺk. Pritom v niekoľkých krabiciach je presne po štyroch jablkách a v ostatných po $x$ jablkách. Nájdite všetky možné hodnoty $x$.

Kladné reálne čísla $a$, $b$ spĺňajú $a>b$ a súčasne

Čomu sa rovná hodnota výrazu $\frac{a+b}{a-b}$?

Koľkými spôsobmi možno do rôznych políčok heptomina na obrázku vyplniť čísla 1 až 7 (každé musíme použiť práve raz), aby bol súčet čísel v spodnom riadku rovnaký ako súčet čísel v ľavom stĺpci?

Dĺžky strán ostrouhlého trojuholníka $\mathit{ABC}$ spĺňajú $|\mathit{AB}|=4\pi$, $|\mathit{BC}|=4\pi +3$, $|\mathit{CA}|=4\pi +6$. Označme $D$ pätu výšky z vrcholu $A$. Určte $|\mathit{CD}|-|\mathit{BD}|$.

Električky majú celý deň v obidvoch smeroch trasy rovnaké intervaly. Chodec, ktorý šiel pozdĺž dráhy električky, pozoroval, že ho každých $12$ minút jedna električka predbehne a zároveň každé $4$ minúty ho minie električka v protismere. Aký interval majú električky?

Koľko nedegenerovaných trojuholníkov môže byť vytvorených spojením niektorých troch bodov na obrázku?

Poznámka: Body sú zarovnané do naznačenej mriežky.

Mirek dostal bonboniéru s tridsiatimi bonbónmi usporiadanými v troch riadkoch po desať. Aby si ju náležite vychutnal, je bonbóny po jednom, a to tak, aby sa počty ostávajúcich bonbónov v každých dvoch riadkoch v každom okamihu líšili najviac o jedna. Koľkými spôsobmi môže bonboniéru zjesť?

Povieme, že šesťciferné prirodzené číslo je dvojité, pokiaľ sa jeho prvé tri cifry (v tomto poradí) zhodujú s jeho ďalšími tromi ciframi (teda napríklad číslo $227227$ je dvojité, zatiaľ čo číslo $135153$ dvojité nie je). Koľko dvojitých čísel je bezo zvyšku deliteľných číslom $2013$?

Poznámka: Prirodzené číslo nemôže začínať nulou.

Na každé políčko hracieho plánu $4\times 4$ náhodne nakreslíme šípku doprava alebo dole a na ľavé horné políčko postavíme robota. Robot sa vždy posúva na susedné políčko v smere šípky. Aká je pravdepodobnosť, že robot opustí hrací plán krokom z pravého dolného políčka?

Vyjadrite

v základnom tvare (tj. ako zlomok $\frac{a}{b}$, kde $a$, $b$ sú nesúdeliteľné prirodzené čísla).

Je daný obdĺžnik $\mathit{ABCD}$ s dĺžkami strán $|\mathit{AB}|=30$, $|\mathit{BC}|=20$. Pre koľko bodov $X$ na jeho strane $\mathit{AB}$ platí, že trojuholník $\mathit{CDX}$ má celočíselný obvod?

V akom poradí je potrebné usporiadať riadky $r_1{r}_2{r}_3\dots r_{11}$ vyobrazenej tabuľky, aby vznikla tabuľka symetrická podľa vyznačenej uhlopriečky? Stačí nájsť jedno riešenie.

Pre každé prirodzené číslo $n$ označme

Nájdite najmenšie prirodzené číslo $k\ge 2$ Také, že $a_2\cdot a_3\cdots a_k>4$

Kaťa pripravila pizzu, rozkrájala ju na $n$ rovnakých dielikov a potom na ne pripichla lístky s číslami $1,2,\dots ,n$ (každé číslo použila práve raz) tak, že medzi dielikmi so za sebou idúcimi číslami bol vždy rovnaký počet iných dielikov. Potom prišiel Lukáš a skoro celú pizzu zjedol — ostali len tri susedné dieliky s číslami $11$, $4$ a $17$ (v tomto poradí). Koľko dielikov mala pizza pôvodne?

V jednej posluchárni na Matfyze sú miesta na sedenie usporiadané do obdĺžnikovej mriežky. Počas jednej prednášky z analýzy sedelo v každom rade presne 11 chlapcov, v každom stĺpci sedeli presne 3 dievčatá a ešte celkovo dve miesta zostali voľné. Koľko najmenej miest môže byť v posluchárni?

Kružnica $k$ s polomerom $3$ a kružnica $l$ s polomerom $4$ majú vnútorný dotyk v bode $T$. Aký najväčší obsah môže mať trojuholník $\mathit{TKL}$, ktorého vrcholy $K$, $L$ ležia po rade na kružniciach $k$, $l$?

Lukáš a Viktor hrajú hru. Na začiatku majú množinu $\{0,1,\dots ,1024\}$ a striedajú sa v ťahoch. Najskôr Lukáš odoberie ľubovoľných jej $2^9$ prvkov, potom odoberie Viktor ľubovoľných $2^8$ prvkov, potom Lukáš $2^7$ prvkov a tak ďalej až nakoniec odoberie Viktor jeden prvok, takže v množine presne dve čísla ostanú. Tým hra končí a Lukáš zaplatí Viktorovi absolútnu hodnotu rozdielu týchto čísel v eurách. Koľko eur Viktor vyhrá, pokiaľ obidvaja hráči hrajú najlepšie ako môžu?

Na Matfyze vyhodili z analýzy niekoľko študentov. Všetci títo študenti prestúpili na VŠN (vysokú školu nemenovanú). To malo nasledujúce dôsledky:

• Počet študentov na Matfyze sa znížil o šestinu.
• Počet študentov na VŠN sa zvýšil o tretinu.
• Na obidvoch školách vzrástlo priemerné IQ o 2

Koľkokrát je teraz priemerné IQ na Matfyze vyššie ako na VŠN?

Do kružnice $k$ s polomerom 1 je vpísaný pravidelný štrnásťuholník $A_1,A_2,\dots ,A_{14}$. Aká je plocha tej časti kruhu ohraničeného kružnicou $k$, ktorá leží vo vnútri ostrého uhla $A_1{A}_4{A}_{14}$?

Olin s Martinou uvideli 24-prvkovú množinu $\{1,2,\dots ,24\}$. Olin si vypísal všetky jej dvanásťprvkové podmnožiny, ktoré majú párny súčet prvkov, zato Martina si vypísala všetky dvanásťprvkové podmnožiny s nepárnym súčtom prvkov. Kto si vypísal viac množín a o koľko?

Viktor si myslí tri navzájom rôzne prirodzené čísla $a$, $b$, $c$ také, že súčet niektorých dvoch z nich je 800. Keď si na papier napísal čísla $a$, $b$, $c$, $a+b-c$, $a+c-b$, $b+c-a$ a $a+b+c$, zistil, že to sú všetko prvočísla. Určte rozdiel najväčšieho a najmenšieho čísla na Viktorovom papieri.

Alča na dve náhodné miesta metrovej tyčky nakreslila bodky. Potom prišiel Pepa a tyčku náhodne rozlámal na $2013$ častí. Aká je pravdepodobnosť, že obe bodky sú teraz na tej istej časti?

Koľko desaťciferných prirodzených čísel obsahujúcich každú z cifier $0,1,\dots ,9$ práve raz je násobkom čísla $11111$?

Poznámka: Prirodzené číslo nemôže začínať nulou.

Polynóm $P(x)$ stupňa $2013$ s reálnymi koeficientmi spĺňa pre $n=0,1,2,\dots 2013$ vzťah $P(n)=3^n$. Určte $P(2014)$.

Vo vnútri rovnoramenného trojuholníka $\mathit{ABC}$ spĺňajúceho $|\mathit{AB}|=|\mathit{AC}|$ a $|\sphericalangle \mathit{BAC}|=99.4^{\circ }$ je daný bod $D$ tak, že $|\mathit{AD}|=|\mathit{DB}|$ a $|\sphericalangle \mathit{BAD}|=19.7^{\circ }$. Určte $|\sphericalangle \mathit{BDC}|$.

Nájdite najväčšie prirodzené číslo nekončiace nulou také, že škrtnutím niektorej jeho „vnútornej“ cifry získame jeho deliteľa.

Poznámka: „Vnútornou“ cifrou rozumieme každú cifru okrem prvej a poslednej.

Pre navzájom rôzne reálne čísla $a$, $b$, $c$ platí

Čomu je rovný súčin $\mathit{abc}$?

V rôznostrannom trojuholníku $\mathit{ABC}$ má jedna výška rovnakú dĺžku ako jedna ťažnica a iná výška má rovnakú dĺžku ako iná ťažnica. V akom pomere sú dĺžka tretej výšky a dĺžka tretej ťažnice?