Zadania a riešenia úloh

Petržlen má zlatú tehličku v tvare kvádra rozmeru 2 x 3 x 4. Keďže považuje sám seba za kockáča, tak tehličku roztavil a odlial z nej tri rovnako veľké kocky. Aká dlhá bola strana Petržlenovej kocky?

Na novoročných oslavách bolo 43 ľudí. Pri bare sa podával džús, pivo a šampanské. Pivo pilo 25 ľudí šampanské pilo 19 ľudí a aj pivo aj šampanské pilo 12 ľudí. Všetci ostatní šoférovali, takže pili len džús. Nikto nemiešal džús s pivom alebo šampanským. Koľko bolo ľudí, ktorí pili len džús?

Poznámka: Každý niečo pil.

Vypitím jednej šálky čierneho čaju získate kofeín na jednu hodinu. Vypitím jednej šálky kávy získate kofeín na štyri hodiny. V akom pomere treba zmiešať čierny čaj s kávou aby sme v jednej šálke mali kofeín na dve hodiny?

Máme zrkadlá $v$, $w$ a $x$. Zrkadlá $v$ a $w$ sú navzájom kolmé. Zrkadlá $w$ a $x$ zvierajú $75^{\circ }$. Svetelný lúč dopadne na $v$ pod $40^{\circ }$ od kolmice potom pokračuje odrazom od $w$ a potom od $x$. Pod akým uhlom od kolmice dopadne znovu na $v$?

Počas roka $2013$ predal obchod $235$ kusov nábytku. V každom mesiaci predal obchod buď $20$, $16$ alebo $25$ kusov nábytku. Koľko bolo mesiacov, keď obchod predal $20$, v koľkých $16$ a v koľkých $25$ kusov nábytku?

Dve kružnice majú polomery 5 a 26. Menšia z nich prechádza stredom väčšej. Zoberieme najkratšiu a najdlhšiu tetivu väčšej kružnice z tých tetív, ktoré sa dotýkajú menšej kružnice. Aký je rozdiel ich dĺžok?

Martin N. sa narodil v minulom storočí v Lopušnom Brieždení. Vieme, že v roku 1999 mal toľko rokov, koľko je súčet cifier v roku jeho narodenia. V ktorom roku sa narodil?

Hago si skonštruoval špeciálny tankový pás ako na obrázku. Okrem vrchného a spodného kolesa sa všetky dotýkajú. Navyše pás je pevne natiahnutý na kolesá. Ak má koleso polomer 1, aká je dĺžka pásu?

Chrobáky sa na telesnej zoradujú podľa počtu nôh od najmenšieho po najväčší. Na minulej telesnej boli okrem Buggyho ešte štyri ďalšie chrobáky s počtom nôh 6, 3, 10 a 9. Vieme, že po zoradení mal chrobák v strede priemerný počt nôh zo všetkých chrobákov (vrátane seba). Aké sú možné počty Buggyho nôh?

Nájdite také cifry $A$, $B$ a $C$, že $\overline{\mathit{AA}}+\overline{\mathit{BB}}+\overline{\mathit{CC}}=\overline{\mathit{ABC}}$

Slávny zberateľ umeleckých diel bol v dôsledku ekonomickej krízy nútený predať tretinu svojich obrazov. Hneď potom svojej dcére venoval 3 Picassov. O niekoľko mesiacov znovu predal tretinu z toho čo mu ostalo a venoval 4 Rembrantov svojej manželke. Keď posledný krát predal tretinu zostávajúcich obrazov a tri venoval galérii zostalo mu doma už len $9$ kópií Mony Lízy. Koľko obrazov mal na začiatku?

Nájdite najmenšie kladné celé číslo väčšie ako 2014, ktoré nemôže byť zapísané ako súčet dvoch palindrómov. Poznámka: Palindróm je také číslo, ktorého desiatkový zápis sa píše tovnako spredu ako od zadu

Vodka dal Ondrovi číselnú hádanku. Vybral si cifru $X$ a povedal: "Myslím si trojciferné číslo deľiteľné jedenástimi, cifra na mieste storviek je $X$ a na mieste desiatok je $3$. Aká cifra je na mieste jednotiek?" Ondro sa potešil, lebo vie ako takýto problém riešiť. Po chvýľke však zistil, že žiadna cifra na pozícií jednotiek nevyhovuje vlastnostiam zadaných Vodkom. Akú cifru $X$ Vodka povedal?

Robko si vymyslel štyri čísla $a<b<c<d$ a spočítal súčty každej dvojice z nich. (celkom šesť súčtov) Zistila, že každý súčet je iný a navyše štyri najmenšie súčty sú 1, 2, 3 a 4. Aké hodnoty môže mať $d$? Nájdite všetky možnosti.

Hanka hovorí Kubovi: "Mám dva krát toľko rokov, koľko si mal ty, keď ja som mala toľko rokov, čo máš ty dnes. Keď budeš mať môj vek, budeme mať spolu $90$ rokov." Koľko rokov má Hanka?

Kladné celé čísla $a_1,a_2,a_3\dots$ tvoria aritmetickú postupnosť. Ak $a_1=10$ a $a_{a_2}=100$ tak koľko je $a_{a_{a_3}}$?

Alicino obľúbené osemciferné číslo má následujúce vlastnosti:

1.

má $8$ rozdielných cifier,

2.

cifry sa zľava do prava zmenšujú,

3.

je deľiteľné $180$.

Aké je to číslo?

Kika si rada skladá trojrozmerné telesá zo štvorčekového paipera. Naposledy si vystrihla z papieru útvar, ako na obrázku. Potom ho zlepila dohromady tak, že žiadne dva štvorčeky sa neprekrývali a výsledné teleso nemalo diery, tj. malo objem. Koľko vrcholov malo teleso, ktoré Kika takto poskladala? Poznámka: Za vrchol považujeme vrcholy poskladaného telesa a nie mrežové body papiera.

Nájdite všetky dvojice $x$, $y$ kladných celých čísel pre ktoré platí: $\mathit{xy}=\mathit{nsn}(x,y)+\mathit{NSD}(x,y)$.

Poznámka: $\mathit{NSD}(x,y)$ označuje najväčšiheho spoločného deliteľa čísel $x$ a $y$ a $\mathit{nsn}$ označuje ich najmenší spoločný násobok.

Žaba skáče v štvorčekovom plániku ako je na obrázku. V každom kroku môže skočiť hore alebo doprava-hore. Žaba si vyberie jedno políčko zo spodného riadku a skáče až kým neskončí v úplne hornom riadku. Koľko rôznych prechádzok môže Žaba absolvovať?

Miťo skryl Ondrovi jeho vytúženú domácu slaninku do bludiska. Bludisko má tvar pravidelného osemuholníka a cesty vedú iba po uhlopriečkach. Ondro začal v jednom vrchole a jehou úlohou bolo prejsť po každej uhlopriečke práve raz. Koľko rôznych spôsobov existuje?

Majme mriežku $M$ veľkosti $2014\times 2014$ s ľavým dolním rohom v bode (0,0) a pravým horným rohom v bode (2014, 2014). Priamka $p$ prechádza súradnicami (0,0) a (2014,2019). Koľko políčok $M$ pretína $p$. Priamka $p$ pretína políčko $M$ znamená ak má aspoň dva spoločné body s políčkom.

Konvexný n-uholník má jeden uhol s ľubovoľnou veľkosťou a $n-1$ uhlov s veľkosťou $150^{\circ }$. Aké môže byť $n$? Nájdite všetky možnosti.

Ak strany trojuholníka spĺňajú

aký je uhol medzi stranami $b$ a $c$?

Nájdite všetký celé čísla od 1 po 200 vrátane, ktoré majú súčet rôznych prvočíselných deliteľov 16. Napríklad súčet rôznych prvočíselných deliteľov čísla 12 je $2+3=5$

Na obrázku plati $|\mathit{DA}|=|\mathit{AB}|=|\mathit{BE}|,|\mathit{GA}|=|\mathit{AC}|=|\mathit{CF}|$ a $|\mathit{IC}|=|\mathit{CB}|=|\mathit{BH}|.$ Aký je obsah trojuholnika $\mathit{ABC},$ ak navyse plati $|\mathit{EF}|=5,|\mathit{DI}|=5$ a $|\mathit{GH}|=6.$

Prvočíslo $p$ nazveme mocné ak buď:

• $p$ je jednociferné prvočíslo,
• alebo ak odobratím prvej cifry dostaneme mocné prvočíslo aj odobratím poslednej cifry $p$ dostaneme mocné prvočíslo.

Nájdite všetky mocné prvočísla. Napriklad: 37 je mocné prvocíslo, lebo odobratím prvej cifry vznikne 7 a odobratím poslednej cifry vznikne $3,$ čo sú obe mocné prvočísla.

Nech $k$ a $l$ sú dve kruznice s polomerom $16.$ Stred kruznice $k$ lezí na obvode kruznice $l$ a naopak stred kruznice $l$ lezí na obvode kruznice $k.$ Nech $p$ je priamka spájajúca stredy kruzníc $k$ a $l.$ Pridáme kružnicu $m$ tak, aby sa zunútra dotýkala oboch kruzníc $k$ a $l$ a navyse sa dotýkala aj priamky $p.$ Aký je polomer kružnice $m?$

Kolko je šest-ciferných čísel takých, ze každá jeho cifra sa v ňom vyskytuje práve toľkokrát, koľko je hodnota tej cifry? Napríklad $133232$ je také číslo.

CDka už nebavia kruhy s dierami. Preto, ako pravý chlap, pozliepal štyri gule polomeru 1 tak, aby sa všetky navzájom dotýkali. Aký je polomer najmenšej gule, ktorá obsahuje všetky štyri CDčkove gule?

Kladné celé čísla $x>y$ sú obe mensie alebo rovné $100.$ Kolko existuje takých dvojíc $(x,y)$ pre ktoré sú čísla $x^2-y^2$ a $x^3-y^3$ navzájom nesúdelitelné?

Majme číslo, ktoré začína takto: 122333444455555... a pokračuje tak, že každé následujúce kladné celé číslo dopíšeme za sebou toľko krát koľko je jeho hodnota. Aká je 2014-ta cifra v tomto čísle?

Aké je najmenšie kladné celé číslo $N$, pre ktoré má rovnica $(x^2-1)(y^2-1)=N$ aspoň dve riešenia, pričom platí $0<x\ge y$ a $x,y\in {\mathbb{Z}}^{+}$

Dve kružnice s polomermi 1 a 3 sa zvonka dotýkajú v bode A. Ich spoločná vonkajšia dotyčnica sa ich dotýka v bodoch $B$ a $C$. Čomu sa rovná $|\mathit{AB}{|}^2+|\mathit{BC}{|}^2+|\mathit{AC}{|}^2$?

Nájdite najväčšie prvočíslo $p$ také, že $p^p|2018!$.

Majme mriežku $2\times 2014$, ktorú ofarbujeme troma farbami. Kolkými spôsobmi je možné ofarbiť túto mriežku tak, aby žiadne dve políčka majúce spoločnú hranu nemali spoločnú farbu?

Nájdite najmenšie kladné celé číslo $m$ také, ze $5m$ je piata mocnina celého čísia, $6m$ je šiesta mocnina celého čísla a $7m$ je siedma mocnina celého čísla.

Majme obdíznikový list papiera. Keď ho prehneme tak, aby sa dva (uhlopriečne) protiľahlé rohy dotýkali, vznikne nám ohyb. Platí, ze dížka ohybu sa rovná dížke dlhšej strany obdlnika. Aký je pomer dĺžky dlhšej strany ku dĺžke kratšej strany tohoto obdíznika?

Máme 20 farebných guľôčiek z ktorých každá je buď modrá, žltá, zelená alebo červená. Najviac koľko z nich môze byť modrých, keď počet všetkých farebne rozlíšiteľných postupností dížky $20$, ktoré sa dajú z guľôčok poskladat, je presne $1140$?

Nájdite všetky $n\ge 3$ pre ktoré sa pravidelný $n$-uholník dá rozdeliť na niekoľko (aspoň $2$) pravidelných mnohouholníkov.

Na šachovnici $5\times 5$ máme v lạvom dolnom rohu šachovú vežu. Môze sa hýbať len vpravo a hore o lubovolný (nenulový) počet políčok. Kolkými spôsobmi sa vie veza dostat do pravého horného rohu? Poznámka: Dve cesty povazujeme za rovnaké, ak sa zhodujú všetky táany vezou v poradí ich vykonania.

Aká je cifra na mieste stoviek v čísle $11^{2014}$?

Žaba skáče po vrcholoch rovnostranného trojuholníka. Ak stojí v nejakom vrchole, tak ako cieľ ďalšieho skoku si náhodne vyberie jeden z dvoch zvyšných vrcholov. Aká je pravdepodobnost, ze Žaba po 10-tich skokoch skončí v rovnakom vrchole ako začal?

Keď Ondro začne rúbať stromy a má na začiatku 100 energie. Každú minútu sa môze rozhodnúť medzi dvoma možnostami:

• Vyrúbe $n$ stromov, kde $n$ jeho aktuálna energia. To ho unaví, a preto sa jeho energia zníži o 1
• Dá si pauzu a získa 1 energiu.

Kolko najviac stromov môze Ondro vyrúbat v priebehu 60 -tich minút?

Označme $\sqrt{\mathbb{N}}=\{\sqrt{1},\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{4},\dots \},$ t.j. množinu odmocnín kladných celých čísel. Nech $S$ je množina čísel $a,$ pre ktoré platí $a\in \sqrt{\mathbb{N}}$ a $\frac{36}{a}\in \sqrt{\mathbb{N}}$. Aký je súčin prvkov množiny $S?$

Keď vyberieme 2014 náhodných cifier z množiny $\{0,1,\dots ,9\},$ tak aká je pravdepodobnosť, že ich súčin bude deliteľný $10?$

Určte hodnotu výrazu:

Poznámka: $\lfloor x\rfloor$ označuje dolnú celú čast $x.$

Vodka počítal súčet $1+2+\cdots +2012.$ Zabudol však pricítať nejaké čísla a tak dostal výsledok delitelný 2011 . Anicka pocitala $A=1+2+\cdots +2013$ a zabudla pripocítat tie isté čísla ako Vodka a dostala tak súčet $N$ delitelný $2014.$ Aký je pomer $\frac{N}{A}?$

Petržlen má novú hru. Je hraná 16-tími kartami, ktoré sú položené v rade za sebou. Každá karta je z jednej strany červená a z druhej čierna. V každom ťáhu Petržlen nájde čiernu kartu, ktorá je najviac vpravo. Potom otoc túto kartu a vsetky karty, ktoré sú od nej napravo. Hra skončí, keď už nie je možné urobiť ťah. Koľko najviac tåhov môze Petržlen túto hru hrat?

Koľko existuje pravouhlých trojuholníkov s celočíselnými dĺžkami strán takých, že aspoň jedna odvesna trojuholníka má dĺžku $2014^{14}$?

Aké je najmenšie kladné celé číslo, ktoré sa nedá zapísať ako súčet maximálne jedenástich (nie nutne rôznych) faktoriálov? Napríklad: $42=4!+3!+3!+2!+2!+1!+1!$.

Na šachovom turnaji hrá každý súťažiaci proti každému. Navyše sa hráči dohodli, že partia nemôze skončit remízou. Nazvime skupinu šachistov jasnou, keď je v skupine jasný vítaz a jasný porazený, t.j. taký hráč, ktorý v skupine všetko vyhral a taký hráč, ktorý v skupine všetko prehral. Nájdite najmenšie $n$ také, ze v každom turnaji s $n$ hráčmi je určite jasná skupina veľkosti $4.$

Kika si vymyslela dve čísla od 1 do 9 (môzu byť aj rovnaké). Vodkovi povedala ich súčin a Ondrovi ich súčet. Potom nasledovala nasledovná konverzácia:

• Vodka: "Neviem, aké sú tie čísla."
• Ondro: "Neviem, aké sú tie čísla."
• Vodka: "Neviem, aké sú tie čísla."
• Ondro: "Neviem, aké sú tie čísla."
• Vodka: "Neviem, aké sú tie čísla."
• Ondro: "Neviem, aké sú tie čísla."
• Vodka: "Neviem, aké sú tie čísla."
• Ondro: "Neviem, aké sú tie čísla."
• Vodka: "Už viem, aké sú tie čísla." Aké čísla si Kika vymyslela?

Majme tri rovnaké kužele, ktorých podstavy sa navzájom dotýkajú a všetky tri podstavy ležia celé v jednej spoločnej rovine. Medzi kužele sme vlozili guľu, ktorá je taká veľká, ze jej vrch siaha do rovnakej výšky ako vrcholy troch kuzelov. Aký má gula polomer, ak podstava kuzelov má polomer $50$ a ich výška je $120?$

Riadky aj stlpce mriežky $7\times 7$ sú očíslované $1,2,\dots ,7$. Koľkými spôsobmi vieme na mriežku rozmiestniť 8 magnetov tak, ze pre kazdé dva magnety je rozdiel v ich číslach stĺpcov aspoñ 3 alebo rozdiel v číslach riadkov aspoñ $3?$

Dané sú tri body $A,B$ a $C,$ ktoré nelezia na jednej priamke. Úsečka $\mathit{AB}$ je rozdelená na tri rovnako dlhé časti bodmi $D$ a $E.$ Bod $F$ je stredom úsečky $\mathit{AC}.$ Priamky $\mathit{DF}$ a $\mathit{BF}$ pretínajú priamku $\mathit{CE}$ v poradí v bodoch $G$ a $H.$ Ak obsah $△\mathit{DEG}$ je $18,$ tak aký je obsah trojuholníka $△\mathit{FGH}?$

Plášť telesa je tvorený dvoma rovnostrannými trojuholníkmi s dĺžkou strany 1 a šiestimi rovnoramennými trojuholníkmi s ramenami dĺžy $x$ a podstavou $1$ ako na obrázku. Ak je objem telesa $6$, kolko je $x?$