Задания и решения

Ответ:

$105^{\circ }$

, $150^{\circ }$, $15^{\circ }$, $15^{\circ }$. $180^{\circ }-60^{\circ }-15^{\circ }=105^{\circ }$.

Ответ:

$6$

$72$ , , $n>1$. $72=2^3\cdot 3^2$ , , $1+3+2=6$ . , , $1,2,4,8,24,72$.

Ответ:

$44$

$n$ — . $23$ $32$, , , . $n∕4$ , ,

$n=44$.

Ответ:

$21$

, $n$ – , $C=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$. $n+1$, , $D=(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)$.

$n$ $n=20$. , — $21$.

Ответ:

$168$

$18$ $3$ . $64-18-3=43$ , , , $3\cdot 43+2\cdot 18+3=168$.

Ответ:

$4$

$n$ $n(n-5)$ , , $n^2-5n+6=n(n-5)+6$ . $2$, , $n^2-5n+6=2$, $1$ $4$. , $4$.

, , $n^2-5n+6=(n-2)(n-3)$ , $\pm 1$. $4$ , $4$ $2$.

Ответ:

$2\sqrt{3}\doteq 3.46410$

$1$ 1 . , " " , , $2$. , , $2$ , , .

Ответ:

$\frac{3}{5}=0.6$

$t_a$ , , $t_p$ – , . ,

Ответ:

$58$

$11.8=0.4\cdot x_1+0.5\cdot x_2+1\cdot x_3+2\cdot x_4+4.1\cdot x_5+9.9\cdot x_6$ $x_i$ $\{0,1\}$. $0.4+0.5+1+2+4.1<11.8$, , $x_6$ $1$. . , $1.9=0.4\cdot x_1+0.5\cdot x_2+1\cdot x_3+2\cdot x_4+4.1\cdot x_5$. $x_4=1$ $x_5=1$ 11.8 , $x_4=x_5=0$. $0.4+0.5+1=1.9$, $x_1=x_2=x_3=x_6=1$ $x_5=x_4=0$. , $1+2+5+50=58$ .

Ответ:

$27$

:

$7$ , $2$ $2\times 2$, $4$ , , , $2$ , . , $8$ $1\times 2$, $2$ $1\times 3$, $2$ , .

, $7+2+4+2+8+2+2=27$ .

Ответ:

$39$

$(60,n)=777+(60,n)$. $60$, $1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,$ $60$. $3$ $777$ $60$. , $(60,n)=3$ and $(60,n)=780$. $60\cdot n=3\cdot 780$, $n=39$.

Ответ:

$\sqrt{7∕12}\doteq 0.76376$

"" , . $A$  $B$. , ( ). $|\mathit{PD}|$ $|\mathit{PD}{|}^2=|\mathit{CD}{|}^2-|\mathit{CP}{|}^2=1^2-{(1∕2)}^2=3∕4$, $|\mathit{PD}|=\sqrt{3∕4}$.

$|\mathit{DB}|=1∕2$,

Ответ:

$27$

$3$, . , , , . $9$ $12$, , . , $6$. , , . , $12$. , — , $3$ $9$ . $27$.

Ответ:

$420$

, $n$ $n={p_1}^{a_1}\cdots {p_k}^{a_k}$ , $p_i$ , $n$ $(a_1+1)\cdots (a_k+1)$.

, , $2$ $n$ . $24=8\cdot 3$ , $8$, , $2$  $2$. $2\cdot 2\cdot 2=4\cdot 2=8$, , , 7- . $3\cdot 5\cdot 7<3^3\cdot 5<3^7$, $n$ $2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7=420$.

Ответ:

$\sqrt{\pi }\doteq 1.77246$

, , . $a$ , $r$ – , $a^2=r^2\pi$ , , $a:r=\sqrt{\pi }$.

Ответ:

$5$

, , .

, $210$. $18$ , $9$. ( ) $(2,3,4)$, $(2,7)$, $(3,6)$, $(4,5)$ $9$. , 5 .

Ответ:

$1∕81$

, ; , "" .

,

, , , $1∕36$ , , $1∕81$.

Ответ:

$26$

, $1,2,3,4,6,10$, $a,b\ge 1$ $(a,b)=1$. , $(a,b)$ $(a,1)$ $n\ge 5$, $(2k-1,2)$ $n=4l\ge 8$, $(2k-1,4)$ $n=4l+2\ge 14$.

, $1+2+3+4+6+10=26$.

Ответ:

$4$

, $c(x-a)(x-b)$, $a,b$ — , $c$ — . $c(a-1)(b-1)$. $2020=2\cdot 2\cdot 5\cdot 101$, $(a-1)$ $(b-1)$ , , $2020=1010\cdot 1\cdot 2$, $2020=1010\cdot (-1)\cdot (-2)$, $2020=101\cdot 4\cdot 5$, and $2020=101\cdot (-4)\cdot (-5)$.

Ответ:

$19$

, $40\cdot 41∕2=820$ . $22$ , $20$ , $1+2+39+19\cdot 40=802$ . $20$ , $2$ , $1$ - $1$ . , $2$ $19$ .

Ответ:

$18$

$a$ b $b$, b $d$. , , $d=b+a+2$. , $\frac{1}{2}b+1\le a$ . $b\le \frac{2}{3}d-2$.

Ответ:

$55$

$a+b=d^2$, $b+c=e^2$, $c+a=f^2$ ( ) $d$, $e$, $f$. , , $d<e<f$ ,

$(d^2+e^2+f^2)∕2$. , , $(♡)$ . $(d^2,e^2,f^2)=(25,36,49)$, $55$.

Ответ:

$162=2\cdot 3^4$

: , (2 ), 4 : , , ( 3 ). , $2\cdot 3^4=2\cdot 81=162$.

Ответ:

$29$

: U, , D, , , 1474 UUD 1414 UDU. :

$3+6+4+4+7+4+1=29$ .

Ответ:

$\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1\doteq 0.41421$

$x$ — . $r$ $\frac{1-x}{2}$. . — $r$. ,

$x=1-\frac{\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$.

Ответ:

$2020∕2019$

,

, $2020∕2019$.

Ответ:

$620$

, , , . , $n$ , $[\frac{n}{3},\frac{n}{2}]$; , $n$ , $[\frac{n}{3},\frac{n}{2}]$ ( , ).

, $1$ — , , , $2$ $3$ . , , , $4,\dots ,7$ , $[\frac{n}{3},\frac{n}{2}]\cap \mathbb{N}\subseteq \{2,3\}$. , $8,\dots ,21$ . . , $44,\dots ,129$, $260,\dots ,777$. 620 .

Ответ:

$60$

$D$, $B$, $C$ $D$ . $B{D}^2=17^2-(7^2-4^2)=16^2$ $\mathit{BC}=16\pm 4$ (, , ). , ( $\frac{1}{2}$) $\mathit{ABC}$, $20∕2=10$ $12∕2=6$, $60$.

Ответ:

$20$

. , , , 4 . , 3, 4, $2\cdot N$, $N$ — , 3 , . , . 5 , 4 3. , $N=(5\cdot 4\cdot 3)∕(3\cdot 2\cdot 1)=10$. , $2\cdot 10=20$

Ответ:

$4251$

, . , - $+11$ . , , , . $00$ $88$, . $89$ . , $1000$ $1988$ — t. , $1999$, $19\cdot 89+989=2680$ , . $2000$ $2020$, $21$ , , $2\cdot 21=42$ . $2680+42=2722$ .

, ? $1$ $9$ $9$ . $10$ $99$ $90\cdot 2$ . $100$ $999$ $900\cdot 3$ $1000$ $2020$ $1021\cdot 4$ . $6973$ . , $6973-2722=4251$ .

Ответ:

$65$

, . , 1 , . .

Ответ:

$68$

, . , , . , .

, 3 ,

. , $64∕2=32$ . $100-32=68$ ( ) .

Ответ:

$150$

$\alpha$, $\beta$ $\gamma$ ( $\mathit{ABC}$). , $\mathit{EAC}$ $\beta$ $\mathit{AEC}$ $\alpha$. $\mathit{EDA}$ $\mathit{EDB}$ $180^{\circ }$, , $\alpha$ $\gamma$ $90^{\circ }$. , , $\alpha =60^{\circ }$. $90^{\circ }+60^{\circ }=150^{\circ }$.

Ответ:

$240$

, . $5\cdot 4∕2=10$ , . $10$ , $3$ . , , , , . : , "". $1$, $2$, $1$, $1$, $1$ , , ” ". ,

.

Ответ:

27721/200

$a<b<c$ . , , , $a:b=b:c$. : (1) $a=32$, $b=50$, $x=c=50\cdot \frac{50}{32}$; (2) $a=32$, $c=50$, $x=b=\sqrt{32\cdot 50}=40$; (3) $b=32$, $c=50$, $x=a=32\cdot \frac{32}{50}$. , . .

Ответ:

$902$

, $\frac{40}{(40,a)}$ () $a$ , $(x,y)$ $x$, $y$. $d=(40,a)$ ( $40$) $a$:

• $d=1$ $a\in \{1,3,7,9,11,13,17,19,21,23,27,29,31,33,37,39\}$,
• $d=2$ $a\in \{2,6,14,18,26,34,38\}$,
• $d=4$ $a\in \{4,12,28,36\}$,
• $d=5$ $a\in \{5,15,25,35\}$,
• $d=8$ $a\in \{8,16,24,32\}$,
• $d=10$ $a\in \{10,30\}$,
• $d=20$ $a\in \{20\}$,
• $d=40$ $a\in \{40\}$.

$\frac{40}{d}$ ¹ . $40\cdot 16+20\cdot 8+10\cdot 4+8\cdot 4+5\cdot 4+4\cdot 2+2\cdot 1+1\cdot 1=903$. , $902$ .

Ответ:

$2∕9$

(.. ) $A$, $B_1$, $B_2$ $B_3$, ( $A$) $C_1$, $C_2$ $C_3$ , , $D$. , (.. ) $B_i$ $D$, $C_i$ $A$ ( $2020$- ). $P_n(V)$ $V$ $n$- . $P_n(B_1)=P_n(B_2)=P_n(B_3)=:P_n(B)$ $n$, $C_i$. :

• $P_0(A)=1$
• $P_1(B)=\frac{1}{3}$
• $P_2(C)=\frac{1}{3}$
• $P_3(D)=\frac{1}{3}$, $P_3(B)=\frac{2}{9}$
• $P_4(C)=\frac{1}{3}$.

, $4$ $2$ , , $P_{2019}(B)=\frac{2}{9}$, ( $A$ )

Ответ:

$27$

, $x\star 3=3$ $x$ , $a=(3\star 2)\star 1=5\star 1=27$ .

Ответ:

$2052$

$1$, $2$, $3$ $4$ $A$, $B$, $C$ $D$. , $1$ - , ( $4$). $2$ ( $A$, $B$, $C$ $D$ ). , $3$ $4$. , $5^3=125$ . ; $4\cdot 3\cdot 2=24$ . , . $4\times 3$ , , ( ); $4\times 3$ , , ; $4$ , . $4\cdot 3+4\cdot 3+4=28$ . , $125-1-24-28=72$ . , $1$, , . , , , , . , 1 $1$ ; $2$ , ; $4$ , ; $7$ , (, $1$ ). : $4(1\cdot 1+28\cdot 2+72\cdot 4+24\cdot 7)=2052$.

Ответ:

$259$

$n$ , $1$, $2$, and $4$. $1$ $2$, $2$ $4$, $4$ $1$, , , , $n$. , . $B$ $1000^{1000}$ $7$, $1$, $2$, $4$ . $3^{1000^{1000}}$, $3^{1000^{1000}-1}$ , ,

, $1000$. , $B\equiv 777(\mathit{mod}1000)$. , $3$ $1000$ , $3$: $\phi (1000)=400$, $1000^{1000}$,

.

, $3$ $-333\equiv 667(\mathit{mod}1000)$. ,

Ответ:

$120$

$a$, $b$ $c$, $\beta$ $B$.

$\cos \beta =\frac{a}{2b}$. $\cos \beta$,

$a$ $b$ and $c$ , l$a=6$, with $b=4$ and $c=5$. , $120$.

Ответ:

$1860497$

$A(n)$ $n$ ; .

$n\ge 5$. $M$ $\{1,\dots ,n\}$ $1$ $n$ . , $A(n)$ $\{1,\dots ,n\}$.

$B(n)$ $\{1,\dots ,n\}$, , ( $1$ and $n$). $B(n)$ $B(n)=B(n-1)+B(n-2)$ — $B(n-1)$ , $n$ $B(n-2)$ , $n$. $A(n)$: , $n$ $B(n-3)$, $1$ $n-1$, $\{2,\dots ,n-2\}$. , $n$, $\{1,\dots ,n-1\}$. ,

, $n\ge 3$. () $B(n-1)$ $B(n-3)$ , $A(n)$, , (R) $n\ge 5$. , $A(3)=4$ and $A(4)=7$. (R), , $A(30)=1860498$. , .

Ответ:

$5\sqrt{\frac{7}{2}}\doteq 9.354134$

, $\mathit{DF}$ $A$ , $\mathit{CD}$ $E$. $x$ $\mathit{CD}$, s $\mathit{CDF}\sim \mathit{CEA}$ $\mathit{ED}=\frac{4}{10}x=\frac{2x}{5}$ $\mathit{EA}=\frac{10+4}{10}\cdot 5=7$. $\mathit{\angle AEC}=\mathit{\angle FDC}=\mathit{\angle DBC}$, $\mathit{AEBC}$ . , , , $\mathit{\angle EAB}=\mathit{\angle ECB}=\mathit{\angle ACD}$. , $\mathit{EDA}\sim \mathit{EAC}$

Ответ:

$1011$

, $f(n)\le n+1$ $n\in \mathbb{N}$. $f(n+1)\ge f(n)+f(f(n))-1\ge f(n)$ $n\in \mathbb{N}$, $f$ . ,

$f(m)=m+c$ $c\in \mathbb{N}$, $c\ge 2$.

, $f(2^{r}m)\ge 2^{r}m+2^r(c-1)+1$. , , $f$ ,

$f(2^{r}m+1)=f(2^{r}m+2)=\cdots =f(2^{r}m+2^r(c-1)+1).$ $k\in \mathbb{N}$ $r_k\in \mathbb{N}$ , $2^{r_k}(c-1)>k$.

, , $f(f(k))\le 1$ $f(f(k))=1$ $k\in \mathbb{N}$. $1=f(f(m))=f(m+c)\ge f(m)$ , , $f(m)=1$ contradicting the assumption $\mathrm{\text{(}}\text{1}\text{)}$. , $f(n)\le n+1$ $n\in \mathbb{N}$.

, $N>1$, $f(N)$ $\{1,2,\dots ,N+1\}$. , $A<N$. $f_1(n)=1$ if $n\le A$ $f_1(n)=A$ if $n>A$. $f_1$ $f_1(N)=A$. -, $f_2(n)=n$ $f_2(N)=N$. , $f_3(n)=N\lfloor \frac{n}{N}\rfloor +1$ gives $f_3(N)=N+1$ . ,

$\lfloor \frac{n}{N}\rfloor +\frac{1}{N}<\lfloor \frac{n}{N}\rfloor +1$ for $N>1$ $\lfloor x\rfloor +\lfloor y\rfloor \le \lfloor x+y\rfloor$ for any real numbers $x,y\in (0,\infty )$.

$2020>1$, - $1$ to $2021$, $\frac{2022}{2}=1011$.

Ответ:

$88$

, , $△\mathit{BEC}$, $△\mathit{AED}$, $△\mathit{DCF}$ $△\mathit{ABF}$ , $\mathit{EAF}$.

$G$ $B$- $△\mathit{BEC}$. $B$ $G$ , , $\overline{\mathit{BG}}=\frac{1}{2}(\overline{\mathit{CB}}+\overline{\mathit{BE}}+\overline{\mathit{EC}})$. $G^{\prime }$ be $A$-excircle of triangle $△\mathit{AED}$. $a+b=60=c+d$

, , $G=G^{\prime }$. , $O$ $\mathit{CE}$ , , $△\mathit{BEC}$ $△\mathit{AED}$ . , $△\mathit{DCF}$ $△\mathit{ABF}$ . , $\mathit{\angle EAF}$ $\mathit{\angle ECF}$. , $\overline{\mathit{AG}}=\overline{\mathit{AH}}$ , $△\mathit{AED}$ and $△\mathit{ABF}$ . ,

$\overline{\mathit{CF}}+\overline{\mathit{FD}}$.

Ответ:

$1568$

, , $p,q,r$ . , $k\ge (1+1+2)\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\ge 4$. $(p,q,r)=(n,n,n+1)$ $k=3n+1$ $n\ge 1$. , $(p,q,r)=(n,n+1,n+1)$ $k=3n+2$ $n\ge 1$. $3\mid k$,

$3\mid p+q+r$ $9\mid k$. , $(p,q,r)=(n-1,n,n+1)$ $k=9n$ $n\ge 2$. $k=9$. $p,q,r$ , $k=\frac{1}{2}(p+q+r)\left({(p-q)}^2+{(q-r)}^2+{(r-p)}^2\right)\ge (1+2+3)\frac{1}{2}(1+1+4)=18$ $p=q\ne r$, $9=(2p+r){(p-r)}^2$ $2p+r>1$ $2p+r=9$ $|p-r|=1$ , $r=p\pm 1$ and $9\ne 3p\pm 1$. $k\in \{1,\dots ,2020\}$ , $4$ $3$, $9$ , $9$. , $2020-3-672+223=1568$.